Оглавление:
Интегрирование по частям
- Интеграция компонентов. Одним из наиболее эффективных методов консолидации является метод консолидации по времени. Этот метод основан на следующем утверждении: Каждая функция и(x)и v(x)может быть дифференцирована множеством{x}, и это множество
имеет начало функции v(x)u'(x). Тогда в наборе{x} действительны исходные функции u (x) v'(x) и выражения J и (x) v'(x) dx—и (x) v (x)—J u (x) и'(x) dx. (8.8) Z a m e h a n I e. по определению дифференцирования и инвариантности в его форме выражение (8.8) может быть
записано как^udv—u{x) v{x)—^vdu. (8.9) чтобы доказать это утверждение, Людмила Фирмаль
запишите формулы производных функций (x) и v (x) [и (x) v (x)]’=и (x) o'(x)+и'(x) и(x). (8.10) приравнять (8.10) умножить на dx и взять интеграл от обеих частей уравнения, полученного таким образом. Поскольку существуют ju(x) n'(x) dx и[u (x) v (x)] rdx=u (x) v (x)+C (см.
пункт 2°3§1) по условию всех x в множестве{x}, необходимо знать обо всех x в множестве{x}. Выражение (8.9) уменьшает задачу вычисления интеграла\udv и вычисления интеграла\vdu. Во многих конкретных случаях этот последний Интеграл легко вычисляется.
- Применяя формулу (8.9), мы называем вычисление интеграла^udv частичным интегралом. (8.9) очень удобно пользоваться разницей между столами,слишком дорогой и выписанной нам 6§4ГЛ. 5. Мы учитываем этот пример. G. вычислите Интеграл/ = jx n lnxdx(PU=-1). Предполагая, что U=lnx, dv=xndx и используя формулу (8.9), вы получаете X В — ———, p+1 /=- ^—1Ф — — — — — — — Ф.В ДХ^ — Ф сайт lnx — — — — — — — +С. n+1n+l j PC-1\ » +1\» / 2°. Вычисляем, кроме того, Интеграл I-jx дуги
tgxx. Предполагая U= = arctgx, dv=xdx и используя выражение (8.9), получаем§2. Основным методом интеграции 301 du dx XG1+x2 ‘~ ~ 2’ / = — Дуга tg X2 [(1+x2) — l]dx_1+x2 х2х2х2 . I f dx= — arc tg x — — — — — — — — I2 1+x2———2 2 J Два. Дуга tg x 1f dx2J1+x2x2+1 Два. aretg x — ^ — +C. 3°. Вычислить Интеграл/=$x2cos x dx. Во-первых, мы применяем формулу (8.9), предполагая, что I-x2, dv=cos xdx. Получаем Du = 2xdx, v=sin x, I=x2sin x-2j x sin x dx. Чтобы вычислить последний Интеграл, мы снова применяем формулу (8.9), предполагая, что I-x, dv=sin xd x,
на этот раз.ду-ДХ, в= — соѕ X, я-x2sm х++2 раза, потому что Х-2jcos xdx=(Х2—2) Людмила Фирмаль
Sin х+2xcos х+С. Таким образом, Интеграл$x2cosxdx вычисляется двойным интегралом в детали. Легко понять, что интеграл jxn cosxdx (где n-любое положительное целое число) может быть вычислен в аналогичной схеме по частичному интегралу/G-fold. 4°. Теперь вычислим Интеграл I=$eax cos bxdx(a=const6=const). Сначала мы применяем формулу(8.9) и предполагаем=eah, dv=cos bxdx. Получаем D u-aeaxdx, v=sm^x,, ea x sinbx a f, j / — ———————\ eax sin bx dx. б, б, Дж. Чтобы вычислить последний Интеграл, мы снова применяем формулу (8.9), предполагая, что I—eah, на этот раз do=sin bxdx. Возьми Один. du=aeyah dx, V-cos bx b’ e°x sin B x b + — ЭА xcosbx б* а? I.(8.П )
Таким образом, интегрируя I в часть дважды, получаем линейное уравнение (8.11) для Интеграла I. Из этого уравнения’a cos bx+B sin bx~+ 1) первая группа содержит интегралы, в которых интегральная функция содержит интегральные значения следующих функций: lnx, arc sin x, Arc cos x, Les tg x, (A R e tg x)2, (arc x)2, ln. Любой X=2, 3,…. На самом деле Интеграл Ki вычисляется элементарно: 1I t-a r c tg — / s. a. a. После вычисления интеграла Kg, предполагая формулу (8.12) X=2, мы легко вычисляем Kg-тогда мы знаем Kg, и предполагая формулу (8.12) X=3, мы легко вычисляем KZ-таким образом еще больше.
Смотрите также:
| Таблица основных неопределенных интегралов | Краткие сведения о комплексных числах |
| Интегрирование заменой переменной (подстановкой) | Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов |
