Оглавление:
Интегрирование простейших рациональных дробей
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей.
1. (формула (2) таблицы интегралов);
2. (формула (1));
3. Рассмотрим интеграл .
Выделив в знаменателе полный квадрат, получим:
причем . Сделаем подстановку . Тогда , . Положим . Следовательно, используя формулы (2) и (15) таблицы интегралов, получаем
т. e., возвращаясь к переменной ,
Пример №31.5.
Найти .
Решение:
. Сделаем подстановку . Тогда и
4. Вычисление интеграла вида .
Данный интеграл подстановкой сводится к сумме двух интегралов:
Первый интеграл легко вычисляется:
Вычислим второй интеграл:
К последнему интегралу применим интегрирование по частям. Положим
тогда
Подставляя найденный интеграл в равенство (31.8), получаем
т. е.
Полученная формула дает возможность найти интеграл для любого натурального числа .
Дополнительный пример №31.6.
Интегрирование рациональных дробей
Рассмотренный в пунктах 31.1-31.2 материал позволяет сформулировать общее правило интегрирования рациональных дробей.
- Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
- Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
- Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример №31.7.
Найти интеграл .
Решение:
Под знаком интеграла неправильная дробь; выделим ее целую часть путем деления числителя на знаменатель:
Получаем:
Разложим правильную рациональную дробь на простейшие дроби:
т. е.
Отсюда следует, что
Находим: . Стало быть,
и
Интегрируем полученное равенство:
Обозначим , тогда и . Таким образом,
Следовательно,
Отметим, что любая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Понятия о рациональных функциях |
Дробно-рациональная функция |
Универсальная тригонометрическая подстановка |
Интегралы типа sin m x cos n x dx |