Для связи в whatsapp +905441085890

Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида Интегрирование тригонометрических функций всегда можно преобразовать к интегралам от рациональной дроби с помощью универсальной тригонометрической подстановки Интегрирование тригонометрических функций. Тогда Интегрирование тригонометрических функций, и

Интегрирование тригонометрических функций

Функции Интегрирование тригонометрических функций и Интегрирование тригонометрических функций выражаются через новую переменную Интегрирование тригонометрических функций:

Интегрирование тригонометрических функций

Пример:

Найти интеграл Интегрирование тригонометрических функций.

Решение:

Преобразуем интеграл, используя формулы (6.12), (6.13).

Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка приводит к сложным рациональным дробям, когда функции Интегрирование тригонометрических функций и Интегрирование тригонометрических функций присутствуют в степенях выше первой. Поэтому в отдельных частных случаях применяются другие подстановки, которые быстрее приводят к цели.

Частные случаи тригонометрических выражений

1) Интеграл вида Интегрирование тригонометрических функций приводится к виду Интегрирование тригонометрических функций подстановкой Интегрирование тригонометрических функций, Интегрирование тригонометрических функций.

2) Интеграл вида Интегрирование тригонометрических функций приводится к виду Интегрирование тригонометрических функций подстановкой Интегрирование тригонометрических функций, Интегрирование тригонометрических функций.

3) Интеграл вида Интегрирование тригонометрических функций приводится к виду Интегрирование тригонометрических функций подстановкой Интегрирование тригонометрических функций.

4) В интегралах вида Интегрирование тригонометрических функций, где показатели степени Интегрирование тригонометрических функций — четные, используется подстановка, похожая на универсальную: Интегрирование тригонометрических функций.

Тогда Интегрирование тригонометрических функций.

5) Интегралы вида Интегрирование тригонометрических функций, где Интегрирование тригонометрических функций — целые числа, положительные или отрицательные.

a) Один из показателей степени — нечетное число, например, Интегрирование тригонометрических функций, где Интегрирование тригонометрических функций — целое число. Тогда возможно следующее преобразование:

Интегрирование тригонометрических функций. Затем Интегрирование тригонометрических функций.

b) Показатели степени положительные и четные:

Интегрирование тригонометрических функций

При вычислении интеграла применяются формулы понижения степени

Интегрирование тригонометрических функций

6) Интегралы от произведения тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций

вычисляются с использованием формул, которые преобразуют произведение в сумму.

Эта лекция взята с этой страницы, там вы найдёте все темы лекций по высшей математике для студентов 1 курса:

Высшая математика для 1 курса

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Разложение рациональной дроби на сумму элементарных дробей
Интегралы от иррациональных функций
Интегрирование иррациональных функций с помощью тригонометрических подстановок
Задача о площади криволинейной трапеции, определение определенного интеграла