Иррациональные неравенства с примерами решения

Иррациональными называют неравенства, в которых неизвестное или рациональная функция от неизвестного содержатся под знаками радикалов.

При решении иррационального неравенства следует сначала найти его ОДЗ, т. е. все значения неизвестного, при которых обе части неравенства определены (имеют смысл).

Иррациональное неравенство обычно сводят к рациональному, возводя обе его части в натуральную степень. Так как при этой операции может получиться неравенство, неравносильное исходному, то следует установить, при каких значениях неизвестного левая и правая части заданного неравенства принимают положительные или отрицательные значения.

Если обе части неравенства неотрицательны на некотором множестве, то при возведении их в натуральную степень получится неравенство, равносильное исходному на этом множестве.

Примеры с решениями

Пример №264.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Множество Иррациональные неравенства с примерами решения допустимых значений (ОДЗ неравенства) определяется условием Иррациональные неравенства с примерами решения откуда находим Иррациональные неравенства с примерами решения При всех Иррациональные неравенства с примерами решения левая часть неравенства неотрицательна, а правая часть — отрицательное число, так как Иррациональные неравенства с примерами решения Следовательно, все значения Иррациональные неравенства с примерами решения и только эти значения являются решениями неравенства.

Ответ. Иррациональные неравенства с примерами решения

Пример №265.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Заметим, что Иррациональные неравенства с примерами решения поскольку Иррациональные неравенства с примерами решенияа левая часть неравенства неотрицательна. Поэтому данное неравенство не имеет решений.

Ответ. Нет решений.

Пример №266.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Левая часть неравенства (1) определена при условии Иррациональные неравенства с примерами решения т.е. на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения а правая часть — на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения Поэтому ОДЗ неравенства (1) — пересечение множеств Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения, т.е. множество Иррациональные неравенства с примерами решения На множестве Иррациональные неравенства с примерами решения обе части неравенства (1) определены и неотрицательны и поэтому оно равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

полученному возведением в квадрат обеих частей неравенства (1). Далее, неравенство (2) равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения

которое равносильно на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения каждому из неравенств

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Таким образом, решениями неравенства (1) являются все те и только те числа Иррациональные неравенства с примерами решения из отрезка Иррациональные неравенства с примерами решениякоторые удовлетворяют условию (3).

Ответ. Иррациональные неравенства с примерами решения

Пример №267.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Первый способ. Область допустимых значений неравенства (4) определяется условием

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

а множество Иррациональные неравенства с примерами решения решений неравенства (5) — объединение промежутков Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения Числа из множества Иррациональные неравенства с примерами решения, и только они, могут быть решениями неравенства (4).

Заметим, что левая часть неравенства (4) неотрицательна при всех Иррациональные неравенства с примерами решения, а правая часть меняет знак при переходе через точку Иррациональные неравенства с примерами решения Поэтому следует рассмотреть два возможных случая: Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения

1) Если Иррациональные неравенства с примерами решения то Иррациональные неравенства с примерами решения и неравенство (4) не имеет решений, так как его левая часть неотрицательна.

2) Если Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения, то обе части неравенства (4) определены и неотрицательны, поэтому оно равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения а неравенство (6) равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Чтобы решить неравенство (7), найдем корни уравнения

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Получим

Иррациональные неравенства с примерами решения

откуда Иррациональные неравенства с примерами решения Поэтому множество Иррациональные неравенства с примерами решения решений неравенства (7) — объединение интервалов Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения Условиям Иррациональные неравенства с примерами решения удовлетворя-ют значения Иррациональные неравенства с примерами решения из промежутков Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения

Ответ. Иррациональные неравенства с примерами решения

Замечание. Рассуждения, приведенные при решении неравенства (4), дают основания утверждать, что неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения
Иррациональные неравенства с примерами решения

равносильно системе неравенств

Иррациональные неравенства с примерами решения

Второй способ. Построим графики функций Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения где Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.1).

Решить неравенство (4) — это значит найти все значения Иррациональные неравенства с примерами решения, при которых график функции Иррациональные неравенства с примерами решениялежит ниже графика функции Иррациональные неравенства с примерами решения. Абсциссы точек пересечения этих графиков — корни уравнения Иррациональные неравенства с примерами решения. Это уравнение — следствие уравнения Иррациональные неравенства с примерами решения т. е. уравнения Иррациональные неравенства с примерами решениякоторое равносильно уравнению (8). Из рис. 22.1 видно, что прямая Иррациональные неравенства с примерами решения пересекает график функции Иррациональные неравенства с примерами решения только в точке Иррациональные неравенства с примерами решения, абсцисса Иррациональные неравенства с примерами решения которой— корень уравнения (8), принадлежащий отрезку Иррациональные неравенства с примерами решения т.е. Иррациональные неравенства с примерами решения Заметим, что корень Иррациональные неравенства с примерами решения уравнения (8) — это корень уравнения Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.1), т.е. абсцисса точки Иррациональные неравенства с примерами решения, в которой прямая Иррациональные неравенства с примерами решения пересекает график функции Иррациональные неравенства с примерами решения

Из рис. 22.1 заключаем, что график функции Иррациональные неравенства с примерами решения лежит ниже графика функции Иррациональные неравенства с примерами решения на промежутках Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения

Пример №268.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Решив неравенство Иррациональные неравенства с примерами решения, найдем ОДЗ неравенства (9), т.е. множество Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.2), которое является объединением промежутковИррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения Как и в примере 4, рассмотрим два случая: Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения

Иррациональные неравенства с примерами решения

1) Пусть Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения, т. е. Иррациональные неравенства с примерами решения

Тогда обе части неравенства (9) неотрицательны. Возводя их в квадрат, получаем

Иррациональные неравенства с примерами решения откуда Иррациональные неравенства с примерами решения

Таким образом, все значения Иррациональные неравенства с примерами решения из промежутка Иррациональные неравенства с примерами решения принадлежат множеству решений неравенства (9).

2) Пусть Иррациональные неравенства с примерами решения, тогда правая часть неравенства (9) отрицательна, а его левая часть неотрицательна. Поэтому все значения Иррациональные неравенства с примерами решения такие, что Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.2), т.е. значения Иррациональные неравенства с примерами решения из промежутка Иррациональные неравенства с примерами решения являются решениями неравенства (9).

Ответ. Иррациональные неравенства с примерами решения

Замечания. 1) Метод решения неравенства, использованный в примере 5, основан на том, что неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения

равносильно совокупности двух систем неравенств:

Иррациональные неравенства с примерами решения

2) Многие абитуриенты, возводя в квадрат обе части неравенства (9) без учета знака его правой части, теряли множество Иррациональные неравенства с примерами решения решений этого неравенства.

Пример №269.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Так как уравнение Иррациональные неравенства с примерами решения имеет корни Иррациональные неравенства с примерами решения то область Иррациональные неравенства с примерами решения допустимых значений неравенства — совокупность интервалов Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения

Решить данное неравенство — это значит найти все значения Иррациональные неравенства с примерами решенияпри которых график функции Иррациональные неравенства с примерами решениялежит выше прямойИррациональные неравенства с примерами решения(рис. 22.3).

Значения Иррациональные неравенства с примерами решения являются решениями неравенства, так как Иррациональные неравенства с примерами решения при Иррациональные неравенства с примерами решенияпри Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.3).

Иррациональные неравенства с примерами решения

Пусть Иррациональные неравенства с примерами решениятогда Иррациональные неравенства с примерами решения и исходное неравенство равносильно каждому из неравенств Иррациональные неравенства с примерами решенияИррациональные неравенства с примерами решения Уравнение Иррациональные неравенства с примерами решения имеет корни Иррациональные неравенства с примерами решенияи Иррациональные неравенства с примерами решения, где Иррациональные неравенства с примерами решенияИррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.3). Поэтому решениями исходного неравенства на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения являются все точки интервала Иррациональные неравенства с примерами решения

Ответ.Иррациональные неравенства с примерами решения

Пример №270.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Первый способ. Неравенство (10) равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

область определения которого — множество Иррациональные неравенства с примерами решения

Так как обе части неравенства (11) неотрицательны, то на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения оно равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения

полученному возведением в квадрат обеих частей неравенства (11). Отсюда следует, что неравенство (11) равносильно системе неравенств

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Если Иррациональные неравенства с примерами решения т. е. Иррациональные неравенства с примерами решениято неравенство (13) не имеет решений.

Если Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения т. е. Иррациональные неравенства с примерами решения то система (12), (13) 5 равносильна каждому из неравенств

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

где числа Иррациональные неравенства с примерами решения являются корнями уравнения

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Решив неравенство (14) на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения и учитывая, что Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.4), находим множество Иррациональные неравенства с примерами решения решений неравенства (10).

Иррациональные неравенства с примерами решения

Ответ. Иррациональные неравенства с примерами решения

Второй способ. Рассмотрим Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения общая область определения этих функций — отрезок Иррациональные неравенства с примерами решения а эскизы графиков представлены на рис. 22.5.

Решить неравенство (11) — это значит найти все значения Иррациональные неравенства с примерами решения при которых график функции Иррациональные неравенства с примерами решения лежит выше графика функции Иррациональные неравенства с примерами решения Функция Иррациональные неравенства с примерами решения является возрастающей, а функция Иррациональные неравенства с примерами решения— убывающей на множестве Иррациональные неравенства с примерами решения, причем Иррациональные неравенства с примерами решения

Иррациональные неравенства с примерами решения

а Иррациональные неравенства с примерами решенияПоэтому на отрезке Иррациональные неравенства с примерами решения графики этих функций имеют единственную общую точку Иррациональные неравенства с примерами решения где Иррациональные неравенства с примерами решения(рис. 22.5) — корень уравнения Иррациональные неравенства с примерами решения т. е. уравнения (15). Заметим, что Иррациональные неравенства с примерами решения так как Иррациональные неравенства с примерами решения Следовательно, Иррациональные неравенства с примерами решения а искомое множество решений неравенства (10) промежуток Иррациональные неравенства с примерами решения

Пример №271.

Решить неравенство

Иррациональные неравенства с примерами решения

Решение:

Исходное неравенство равносильно неравенству

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

а неравенство (16) равносильно совокупности следующих двух систем неравенств:

Иррациональные неравенства с примерами решения Иррациональные неравенства с примерами решения

Множество допустимых значений Иррациональные неравенства с примерами решения для систем (17) и (18) определяется условием Иррациональные неравенства с примерами решения откуда Иррациональные неравенства с примерами решения

а) При Иррациональные неравенства с примерами решения обе части первого неравенства системы (17) положительны, а система (17) равносильна каждой из систем

Иррациональные неравенства с примерами решения

откуда следует, чтоИррациональные неравенства с примерами решения

б) Системе (18) удовлетворяют значения Иррациональные неравенства с примерами решениятак как при Иррациональные неравенства с примерами решениялевая часть первого неравенства системы (18) определена и неотрицательна, а правая отрицательна; значения Иррациональные неравенства с примерами решенияудовлетворяют и второму неравенству системы (18).

Значения Иррациональные неравенства с примерами решения из отрезка Иррациональные неравенства с примерами решения удовлетворяют системе (18), а при Иррациональные неравенства с примерами решения система (18) равносильна каждой из систем

Иррациональные неравенства с примерами решения

откуда следует, что Иррациональные неравенства с примерами решения

Ответ. Иррациональные неравенства с примерами решения

Иррациональные неравенства с примерами решения

Замечание. Системы (17) и (18) можно решить, построив графики функций Иррациональные неравенства с примерами решения и Иррациональные неравенства с примерами решения (рис. 22.6).

Иррациональные неравенства с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Примеры решения рациональных неравенств
Расположение корней квадратного трехчлена на числовой оси с примерами решения
Показательные неравенства с примерами решения
Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения