Иррациональные уравнения примеры с решением

Иррациональные уравнения. Уравнения, содержащие знак модуля

1.Методы решения иррациональных уравнений, как правило, основаны на возможности замены (с помощью некоторых преобразований) иррационального уравнения рациональным уравнением, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием. Чаще всего обе части уравнения возводят в одну и ту же степень. При этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель радикала — четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательным; при этом значение радикала также является неотрицательным;

2) если показатель радикала — нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом; в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.

Рассмотрим уравнение вида

Иррациональные уравнения примеры с решением

Если Иррациональные уравнения примеры с решением то уравнение (1) не имеет корней, так как левая часть уравнения (1) не может принимать отрицательные значения ни при каких значениях Иррациональные уравнения примеры с решением.

Если же Иррациональные уравнения примеры с решениемто при возведении обеих частей уравнения (1) в квадрат получим равносильное уравнение. Таким образом, уравнение (1) равносильно системе

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Замечание. При решении уравнения (1) нет необходимости предварительно находить ОДЗ левой части (1), решая неравенство Иррациональные уравнения примеры с решением которое может оказаться довольно сложным. Достаточно найти корни уравнения (2) и, не прибегая к непосредственной подстановке этих корней в уравнение (1), выяснить, какие из найденных корней удовлетворяют неравенству (3). Эти корни, и только они, являются корнями уравнения (1).

2.Из определения модуля (абсолютной величины) числа следует, что

1)Иррациональные уравнения примеры с решением

2) Иррациональные уравнения примеры с решением

3) если Иррациональные уравнения примеры с решениеми Иррациональные уравнения примеры с решением— произвольные точки числовой оси, то расстояние между ними равно Иррациональные уравнения примеры с решением

Примеры с решениями

Пример №78.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Уравнение (4) равносильно системе

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Уравнение (5), равносильное каждому из уравнений Иррациональные уравнения примеры с решением имеет корни Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением из которых лишь корень Иррациональные уравнения примеры с решением удовлетворяет условию (6).

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Пример №79.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Возведя обе части уравнения (7) в квадрат, получим уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

равносильное (7), так как обе части уравнения (7) неотрицательны. Уравнение (8) равносильно уравнению

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Возведя в квадрат обе части уравнения (9), получим уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

равносильное уравнению

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

которое имеет корни Иррациональные уравнения примеры с решением

Заметим, что уравнение (11) является следствием уравнения (7), так как Иррациональные уравнения примеры с решениемЧисло Иррациональные уравнения примеры с решением — корень уравнения (7), а число Иррациональные уравнения примеры с решением — посторонний корень для уравнения (7): при Иррациональные уравнения примеры с решением левая часть уравнения (7) больше четырех.

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

В рассмотренном примере можно было сначала перенести один из радикалов в правую часть уравнения (метод уединения радикала), а затем возвести обе части полученного уравнения в квадрат.

Воспользуемся этим приемом при решении следующего примера.

Пример №80.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Применив метод уединения радикала, получим уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

равносильное уравнению (12).

Заметим, что нет необходимости находить ОДЗ уравнения (13), но следует обратить внимание на подкоренные выражения. Если ввести новое неизвестное (выполнить замену переменной), полагая Иррациональные уравнения примеры с решением, то уравнение (13) примет вид

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

При Иррациональные уравнения примеры с решением (в ОДЗ уравнения (14)) это уравнение равносильно каждому из уравнений

Иррациональные уравнения примеры с решением

Корни Иррациональные уравнения примеры с решениеми Иррациональные уравнения примеры с решением уравнения (15) удовлетворяют условию Иррациональные уравнения примеры с решением и поэтому являются корнями уравнения (14).

Если Иррациональные уравнения примеры с решением то Иррациональные уравнения примеры с решением откуда Иррациональные уравнения примеры с решением Если Иррациональные уравнения примеры с решением то Иррациональные уравнения примеры с решениемоткуда Иррациональные уравнения примеры с решением

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

В примерах 1-3 был использован метод возведения обеих частей уравнения в квадрат. В отдельных случаях применяются другие приемы, которые могут оказаться более эффективными.

Пример №81.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Положим Иррациональные уравнения примеры с решением тогда Иррациональные уравнения примеры с решением и уравнение (16) примет вид

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Уравнение (17) равносильно каждому из уравнений

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Используя тождество Иррациональные уравнения примеры с решениемзапишем уравнение (18) в виде

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Так как Иррациональные уравнения примеры с решением то уравнение (18) и равносильное ему уравнение (19) можно записать в виде Иррациональные уравнения примеры с решением откуда Иррациональные уравнения примеры с решением т. е.Иррациональные уравнения примеры с решением

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Пример №82.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Полагая Иррациональные уравнения примеры с решением преобразуем уравнение к виду

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Уравнение (20) имеет корни Иррациональные уравнения примеры с решением Если Иррациональные уравнения примеры с решением то Иррациональные уравнения примеры с решением откуда Иррациональные уравнения примеры с решением Если Иррациональные уравнения примеры с решениемто Иррациональные уравнения примеры с решениемоткуда Иррациональные уравнения примеры с решением

Оба найденных корня являются корнями исходного уравнения, так как в процессе решения было использовано (наряду с заменой неизвестного) только преобразование вида Иррациональные уравнения примеры с решениемпри котором получается равносильное уравнение.

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Пример №83.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Так как Иррациональные уравнения примеры с решением и Иррациональные уравнения примеры с решением — это расстояния от искомой точки Иррациональные уравнения примеры с решением до точек Иррациональные уравнения примеры с решением и Иррациональные уравнения примеры с решением соответственно, то из равенства (21) следует, что искомая точка Иррациональные уравнения примеры с решением находится на одинаковом расстоянии от точек Иррациональные уравнения примеры с решением и Иррациональные уравнения примеры с решением. Таким образом, точка Иррациональные уравнения примеры с решением — середина отрезка Иррациональные уравнения примеры с решением и поэтому Иррациональные уравнения примеры с решением

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Пример №84.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Полагая Иррациональные уравнения примеры с решениемполучаем уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Если Иррациональные уравнения примеры с решением то (23) имеет вид Иррациональные уравнения примеры с решением откуда находим Иррациональные уравнения примеры с решением

Поскольку при замене Иррациональные уравнения примеры с решением на Иррациональные уравнения примеры с решением уравнение (23) не меняется, число Иррациональные уравнения примеры с решением также является корнем уравнения (23), а корни уравнения (2) — числа Иррациональные уравнения примеры с решением и Иррациональные уравнения примеры с решением

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Пример №85.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Положим Иррациональные уравнения примеры с решениемтогда уравнение (24) примет вид

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решить уравнение (25) — значит найти все такие точки числовой оси Иррациональные уравнения примеры с решением (рис. 8.1), для которых сумма расстояний от каждой из них до точек 1 и 3 равна 6. Заметим, что искомые точки лежат вне отрезка [1,3], так как сумма расстояний от любой точки отрезка до его концов равна 2.

Иррациональные уравнения примеры с решением

Пусть Иррациональные уравнения примеры с решением— искомая точка, лежащая правее точки 3; Иррациональные уравнения примеры с решением -расстоя-ние от точкиИррациональные уравнения примеры с решением до точки 3, Иррациональные уравнения примеры с решением — сумма расстояний от точки Иррациональные уравнения примеры с решениемдо точек 3 и 1. Тогда Иррациональные уравнения примеры с решением откуда Иррациональные уравнения примеры с решениема точке Иррациональные уравнения примеры с решением соответствует число Иррациональные уравнения примеры с решением Аналогично, корнем уравнения (25) является точка Иррациональные уравнения примеры с решениемнаходящаяся на расстоянии 2 от точки 1.

Таким образом, задача сводится к решению уравнений Иррациональные уравнения примеры с решением Первое из них не имеет действительных корней, а второе имеет два корня.

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Пример №86.

Решить уравнение

Иррациональные уравнения примеры с решением Иррациональные уравнения примеры с решением

Решение:

Функция Иррациональные уравнения примеры с решением меняет знак при Иррациональные уравнения примеры с решением а функция Иррациональные уравнения примеры с решением — при Иррациональные уравнения примеры с решением и Иррациональные уравнения примеры с решением причем Иррациональные уравнения примеры с решением при Иррациональные уравнения примеры с решением и Иррациональные уравнения примеры с решениемПоэтому

Иррациональные уравнения примеры с решением

а уравнение (26), записанное без знака модуля на промежутках Иррациональные уравнения примеры с решением равносильно совокупности следующих систем:

Иррациональные уравнения примеры с решением

Первой из этих систем удовлетворяют все значения Иррациональные уравнения примеры с решением из промежутка Иррациональные уравнения примеры с решением второй системе — значение Иррациональные уравнения примеры с решениемостальные две системы не имеют решений.

Ответ. Иррациональные уравнения примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Уравнение и его корни. Преобразование уравнений
Рациональные уравнения примеры с решением
Показательные уравнения примеры с решением
Логарифмические уравнения примеры с решением