Измерение интенсивности множественной связи
Выше мы показали, что при проведении социально-экономических исследований часто изучаются связи между более чем двумя явлениями. Для оценки интенсивности такой связи используется коэффициент множественной корреляции (совокупный коэффициент корреляции), который характеризует тесноту связи одной из переменных с совокупностью других.
В качестве оценки интенсивности связи между результативным признаком 
и совокупностью факторных признаков
используется величина
где 
— наименьшее значение суммы
которая характеризует соответствие регрессии опытным данным, т.е. рассеяние значений , которое возникает из-за случайностей и изменчивости прочих неучтенных факторов. Из формулы (2.10) видно, что чем меньше значение , тем меньше опытные данные отклоняются от значений регрессии
Величина 
, вычисляемая по формуле (2.10), называется коэффициентом множественной корреляции (совокупным коэффициентом корреляции).
Средняя квадратичная ошибка коэффициента множественной корреляции определяется по формуле
где 
-чиcло наблюдений; 
-число параметров уравнения регрессии.
Используя значения параметров 
уравнения (2.4), найденных
при решении системы нормальных уравнений (2.5), формулу (2.10) преобразуем к виду
(см. [2, § 9.7]), где 
коэффициенты парной корреляции между переменными
Коэффициент множественной корреляции удовлетворяет следующим свойствам:
1) его значения удовлетворяют неравенству 
;
2) если 
, то результативный признак 
и факторные признаки не могут быть связаны линейной регрессионной зависимостью, хотя нелинейная зависимость может существовать;
3) если 
, то результативный признак и факторные 
признаки связаны линейной функциональной зависимостью.
Из формулы (2.11) следует также, что если стремится к единице, то теснота линейной корреляционной зависимости между переменными и увеличивается, так как стремится при этом к нулю, т.е. опытные данные меньше отклоняются от значений регрессии.
Об уровне тесноты множественной корреляционной связи между факторными признаками и результативным судят по значению множественного коэффициента корреляции . Различают слабую 
, умеренную 
, заметную 
, тесную 
и весьма тесную 
корреляционную связь.
Отметим также, что с помощью коэффициента множественной корреляции нельзя сделать вывод о том, положительна или отрицательна корреляция между переменными. Только если все парные коэффициенты корреляции имеют один знак, можно установить характер связи между и .
Из формулы (2.11) следует, что если коэффициент парной корреляции 
, т.е. если 
и 
некоррелированы, то 
.
Это значит, что квадрат интенсивности связи между и равен сумме квадратов интенсивности связи между и , и .
Коэффициент множественной корреляции можно вычислить через коэффициенты парной корреляции по формуле:
где
определитель матрицы парных коэффициентов корреляции,
определитель матрицы межфакторной корреляции.
Связь коэффициента множественной корреляции с нормированными коэффициентами регрессии 
и 
выражается формулой
которая обобщается на случай любого конечного числа факторных признаков,
Как и в случае простой линейной регрессии, для установления того, какая часть общей дисперсии может быть объяснена зависимостью переменной от переменных 
, вычисляют коэффициент множественной детерминации
где
опытные данные. Его свойства и формула аналогичны свойствам и формуле простой линейной регрессии. Если 
, то между и , существует линейная функциональная зависимость; если же 
, то линейная зависимость отсутствует.
При пошаговом построении уравнения регрессии важно отметить изменение множественного коэффициента детерминации. Если при введении новых факторов в уравнение регрессии множественный коэффициент детерминации увеличивается, то вводимые факторы существенны. В противном случае вводимые факторы несущественны и их можно исключить из уравнения регрессии.
Если уравнение множественной регрессии содержит только два факторных признака и то его можно представить в виде
Возведем в квадрат обе части данного равенства и просуммируем все отклонения. Тогда, так как
Подставив этот результат в формулу коэффициента множественной детерминации 
, приведем ее к виду
Итак, мы определили способы оценки тесноты связи одной переменной () с совокупностью переменных , включенных в анализ социально-экономических явлений. При этом следует отметить, что если переменные , коррелируют друг с другом, то на значение коэффициента парной корреляции между и 
частично сказывается влияние других переменных. Вполне возможно, что корреляция между и не прямая, а косвенная, возникающая вследствие воздействия других переменных 
на . Поэтому для определения интенсивности связи между и следует зафиксировать или исключить влияние других переменных .
Интенсивность такой связи определяется с помощью коэффициентов частной корреляции. Исключенные переменные могут закрепляться как на средних уровнях, так и на уровнях, выбранных в соответствии с интересующими нас участками изменения переменных, между которыми определяется связь в чистой форме.
Изучим частную корреляцию в случае взаимосвязи трех переменных. Определим коэффициенты частной корреляции между переменными и , при исключении влияния , а также частной корреляции между переменными и при исключении влияния :
Как видно из приведенных формул, вычисление коэффициентов частной корреляции сводится к нахождению коэффициентов парной корреляции. Из формул (2.12) следует, что если 
(переменные и не коррелированы), то 
и 
если же 
, то 
. Это означает, что с уменьшением взаимосвязи между факторами и коэффициент частной корреляции по сравнению с соответствующим коэффициентом парной корреляции не убывает, причем увеличение коэффициентов частной корреляции тем сильнее, чем больше 
или 
.
Кроме того, при 
, а при 
если же 
и 
имеют противоположные знаки, то всегда 
. Отметим, что коэффициент множественной корреляции также связан с частными коэффициентами корреляции по формуле
Обобщим формулы (2.12) на любое число факторных признаков. Для этого воспользуемся формулами, связывающими коэффициенты частной и парной корреляций с коэффициентами частной регрессии:
Перемножив правые и левые части приведенных формул, получим:
Обобщая формулу (2.13), можно записать:
Аналогично можно обобщить и формулы (2.12):
Как видно из формулы (2.14), вычисление коэффициентов частной корреляции порядка 
сводится к вычислению коэффициентов частной корреляции порядка 
. Поэтому применение формулы (2.14) предполагает знание коэффициентов парной корреляции, что позволяет вычислять коэффициенты частной корреляции, которые в свою очередь дают возможность вычислять коэффициенты частной корреляции более высокого порядка.
В множественном регрессионном анализе определяют часть из тех изменений, которые в данном явлении зависят от одного факторного признака при исключении влияния остальных факторных признаков, рассматриваемых в регрессии. Для этого используется коэффициент частной детерминации.
Остановимся на случае линейной зависимости результативного признака 
от факторных признаков 
и 
.
Для оценки части вариации , объясняемой вариацией фактора , при исключении влияния , определим формулы коэффициента частной детерминации 
по данным, из которых исключены значения фактора :
Используя формулу
и учитывая, что
получаем выражение коэффициента частной детерминации:
Выполнив элементарные преобразования, приведем это выражение к виду
Из формулы (2.15) следует, что коэффициент частной детерминации вычисляется по коэффициентам парной детерминации. Эта формула позволяет устанавливать часть вариации, обусловленной зависимостью результативного признака 
от фактора при исключении влияния .
Укажем формулы, связывающие коэффициенты множественной и частной корреляций, регрессии и детерминации. Между коэффициентами множественной корреляции 
и детерминации 
существует следующее соотношение:
Такие же соотношения справедливы и для коэффициентов частной корреляции и частной детерминации. Например,
Коэффициент множественной детерминации равен сумме коэффициентов парной детерминации, если переменные 
попарно не коррелированы,
Кроме того, справедливо следующее соотношение между коэффициентами частной детерминации и регрессии:
