Для связи в whatsapp +905441085890

Касательная к кривой

Касательная к кривой

Дадим сначала общее определение касательной к кривой.

Возьмем на непрерывной кривой Касательная к кривой две точки Касательная к кривой и Касательная к кривой (см. рис. 128).

Прямую Касательная к кривой, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка Касательная к кривой, двигаясь вдоль кривой Касательная к кривой, неограниченно приближается к точке Касательная к кривой. Тогда секущая, поворачиваясь около точки Касательная к кривой, стремится к некоторому предельному положению Касательная к кривой.

Касательной к данной кривой в данной точке Касательная к кривой называется предельное положение Касательная к кривой секущей Касательная к кривой, проходящей через точку Касательная к кривой, когда вторая точка пересечения Касательная к кривой неограниченно приближается по кривой к точке Касательная к кривой.

Рассмотрим теперь график непрерывной кривой Касательная к кривой , имеющий в точке Касательная к кривой не вертикальную касательную. Найдем ее угловом коэффициент Касательная к кривой, где Касательная к кривой — угол касательной с осью Касательная к кривой.

Для этого проведем через точку Касательная к кривой и точку Касательная к кривой графика с абсциссой Касательная к кривой секущую (см. рис. 129). Обозначим через Касательная к кривой — угол между секущей Касательная к кривой и осью Касательная к кривой. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей равен

Касательная к кривой
Касательная к кривой

При Касательная к кривой в силу непрерывности функции приращение Касательная к кривой тоже стремится к нулю; поэтому точка Касательная к кривой неограниченно приближается по кривой к точке Касательная к кривой, а секущая Касательная к кривой, поворачиваясь около точки Касательная к кривой, переходит в касательную. Угол Касательная к кривой, т. е. Касательная к кривой.

Следовательно,Касательная к кривой.

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

Касательная к кривой

К нахождению пределов вида (20.1) и (20.2) приводят решения и множества других задач. Можно показать, что:

  • если Касательная к кривой — количество электричества, проходящего через поперечное сечение проводника за время Касательная к кривой, то сила тока в момент времени Касательная к кривой равна
Касательная к кривой
  • если Касательная к кривой — количество вещества, вступающего в химическую реакцию за время Касательная к кривой, то скорость химической реакции в момент времени Касательная к кривой равна
Касательная к кривой
  • если Касательная к кривой — масса неоднородного стержня между точками Касательная к кривой и Касательная к кривой, то линейная плотность стержня в точке Касательная к кривой есть
Касательная к кривой

Пределы (20.1) (20.5) имеют одинаковый вид; везде требуется найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Этот предел называют производной. Эти пределы можно записать так:

Касательная к кривой

(читается «Касательная к кривой равно Касательная к кривой штрих по Касательная к кривой», «тангенс Касательная к кривой равен Касательная к кривой штрих по Касательная к кривой » и т. д.).

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Свойства функций, непрерывных на отрезке
Скорость прямолинейного движения
Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
Производная суммы, разности, произведения и частного функций