Оглавление:
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Рассмотрим одно из геометрических приложений частных производных функции двух переменных. Пусть функция 
дифференцируема в точке 
некоторой области 
. Рассечем поверхность 
, изображающую функцию 
, плоскостями 
и 
(см. рис. 208). Плоскость пересекает поверхность по некоторой линии 
, уравнение которой получается подстановкой в выражение исходной функции вместо 
числа 
. Точка 
принадлежит кривой . В силу дифференцируемости функции в точке 
функция также является дифференцируемой в точке . Следовательно, в этой точке в плоскости к кривой может быть проведена касательная 
.
Проводя аналогичные рассуждения для сечения , построим касательную 
к кривой 
в точке . Прямые и определяют плоскость 
, которая называется касательной плоскостью к поверхности в точке .
Составим ее уравнение. Так как плоскость а проходит через точку 
, то ее уравнение может быть записано в виде
которое можно переписать так:
(разделив уравнение на 
и обозначив 
).
Найдем 
и 
.
Уравнения касательных и имеют вид
соответственно.
Касательная лежит в плоскости , следовательно, координаты всех точек удовлетворяют уравнению (45.1). Этот факт можно записать в виде системы
Разрешая эту систему относительно получим, что 
.
Проводя аналогичные рассуждения для касательной , легко установить, что 
.
Подставив значения и в уравнение (45.1), получаем искомое уравнение касательной плоскости:
Прямая, проходящая через точку и перпендикулярная касательной плоскости, построенной в этой точке поверхности, называется ее нормалью.
Используя условие перпендикулярности прямой и плоскости (см. с. 103), легко получить канонические уравнения нормали:
Если поверхность задана уравнением 
, то уравнения (45.2) и (45.3), с учетом того, что частные производные могут быть найдены как производные неявной функции:
(см. формулы (44.12)), примут соответственно вид
и
Замечание. Формулы касательной плоскости и нормали к поверхности получены для обыкновенных, т. е. не особых, точек поверхности Точка поверхности называется особой, если в этой точке все частные производные равны нулю или хотя бы одна из них не существует. Такие точки мы не рассматриваем.
Пример №45.1.
Написать уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду вращения 
в точке 
.
Решение:
Здесь 
. Пользуясь формулами (45.2) и (45.3) получаем ура некие касательной плоскости: 
или 
и уравнение нормали: 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Инвариантность формы полного дифференциала |
| Дифференцирование неявной функции |
| Необходимые и достаточные условия экстремума |
| Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области |
