Оглавление:
Касательной плоскостью к поверхности в данной точке (точке касания) называется плоскость, в которой лежат касательные в этой точке к всевозможным кривым, проведенным на данной поверхности через указанную точку.
Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания.
Для поверхности уравнения касательной плоскости и нормали в точке имеют вид:
Для поверхности уравнения касательной плоскости и нормали в точке принимают вид:
Пример №1
Составить уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности:
а) в точке ,
б) в точке
Решение:
а) Для составления уравнений касательной плоскости и нормали к поверхности в точке используем формулы:
Из условия имеем: , точка принадлежит данной поверхности.
Подставляя значения частных производных и координат т. в уравнения, получим
— уравнение касательной плоскости.
— уравнение нормали.
б) Для поверхности, заданной уравнением используем формулы:
В нашем случае ,
Уравнение касательной плоскости имеет вид: или .
Уравнение нормали:
или
Пример №2
Определить плоскость, касательную к поверхности и параллельной плоскости .
Решение:
Уравнение искомой плоскости имеет вид
где — точка касания,
— нормальный вектор.
По условию . Следовательно,
Так как искомая плоскость параллельна данной плоскости с нормальным вектором , параллельным вектору , то их координаты будут пропорциональны .
Поскольку точка принадлежит поверхности, то ее координаты можно вычислить, решив систему:
. Имеем две точки касания и .
Для точки уравнение касательной плоскости имеет вид
или .
Для точки уравнение касательной плоскости имеет вид
или .
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Частные производные и полный дифференциал функции |
Производные и дифференциалы высших порядков |
Экстремум функции нескольких переменных |
Условный экстремум |