Касательная плоскость и нормаль к поверхности с примерами решения

Оглавление:

Рассмотрим функцию Касательная плоскость и нормаль к поверхности . Ее графиком является некоторая поверхность .

Определение 20.1. Касательной плоскостью к поверхности Касательная плоскость и нормаль к поверхности в данной точке называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.

Получим уравнение касательной плоскости к поверхности Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке . Рассмотрим сечения поверхности плоскостями (рис. 20.1). Линия пересечения поверхности с плоскостью будет определяться системой Касательная плоскость и нормаль к поверхности линия пересечения поверхности с плоскостью будет определяться системой

Уравнения касательных прямых Касательная плоскость и нормаль к поверхности к линиям в точке можно представить через пересечение плоскостей соответственно

Уравнение плоскости по точке Касательная плоскость и нормаль к поверхности и вектору нормали имеет вид , откуда при .

Касательные прямые Касательная плоскость и нормаль к поверхности к линиям . получаются сечением плоскости (формула (20.3)) двумя плоскостями и — Следовательно, уравнения касательной прямой Касательная плоскость и нормаль к поверхности . имеют вид

уравнения касательной прямой Касательная плоскость и нормаль к поверхности имеют вид

Сравнивая коэффициенты при Касательная плоскость и нормаль к поверхности в формулах (20.2) и (20.5), при в формулах (20.1) и (20.4), получим

Подставим эти значения в уравнение (20.3), преобразуем и получим уравнение касательной плоскости Р, проходящей через касательные прямые Касательная плоскость и нормаль к поверхности :

В случае неявного задания поверхности Касательная плоскость и нормаль к поверхности уравнением , так как

уравнение касательной плоскости Р, проходящей через касательные прямые Касательная плоскость и нормаль к поверхности , принимает вид

Заметим, что точка, в которой хотя бы одна из частных производных Касательная плоскость и нормаль к поверхности не существует или обращается в пуль, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной плоскости.

Определение 20.2. Нормалью к поверхности в точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.

Воспользуемся условием перпендикулярности прямой и плоскости и запишем уравнения нормали к поверхности Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке :