Классификация особых точек

Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции

Как уже знаем, особой точкой функции называется точка, в которой функция не является аналитической.

Особая точка функции называемся изолированной, если в некоторой окрестности ее функция не имеет других особых точек.

Если — изолированная особая точка функции , то существует такое число , что в кольце функция будет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана (76.11): .

При этом возможны следующие случаи:

1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется устранимой особой точкой функции .

2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное число членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется полюсом функции .

3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицательными показателями. В этом случае точка называется существенно особой точкой функции .

Укажем особенности поведения аналитической функции в окрестности особой точки каждого типа.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

• Решение задач по высшей математике

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Интеграл Коши. Интегральная формула Коши

Нули аналитической функции

Устранимые особые точки

Существенно особая точка