Компакты

Компакты

Компакты. В этом разделе мы рассмотрим несколько свойств множества, называемого компактным множеством, которые играют важную роль в анализе. Определение 29.Если ограничение является подпоследовательностью сходимости, принадлежащей множеству A, которое можно отличить от любого столбца в этой точке, то A и Dn называются компактными. Важная характеристика, характеризующая компактное множество Dn, устанавливается следующей теоремой: Теорема 3.To Доказательство необходимости. RU и компактны. Для положительного целого числа m, Если множество a не ограничено, p (0, x (m)) m(m = 1, 2,…Есть такая точка ут) е а быть).Здесь, как всегда,= =(0, 0,…0).Очевидно, золото поэтому.

Компактное множество, необходимо и достаточно для того, чтобы быть связанным и замкнутым. Людмила Фирмаль

• Последовательность sequence также имеет ограниченный oo, поэтому вы не можете выбрать один из следующих вариантов: Подпоследовательности, которые идут вразрез с тем фактом, что A компактно. Это ограниченный набор. Если набор A не был закрыт, то существовал контакт x, который не принадлежал xA. На этом этапе мы находим такую последовательность c. A, m = 1, 2,…, \ \ m x ^ m)= x. следовательно, что любое Последовательность также имеет точку xΦA в качестве своего предела. То есть, набор A не является компактным again. So A-замкнутое множество. Доказательство адекватности. Пусть E-ограниченное замкнутое множество и пусть{x^} последовательность этой точки\ x (m)= E(m = 1, 2,…И чтобы. Множество Å ограничено, поэтому эта последовательность также является bounded.

So, по теореме 18.1, Раздел 2, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность{q (t*)}.Его предел обозначается x. \ \ mx ^ m ^ x. очевидно, что x-это точка касания множества E、 Эй, и поскольку E-замкнутое множество, x ^ .E, то есть E действительно компактен. Тс Доказанная теорема позволяет легко установить компактность многих множеств, с которыми вы часто сталкиваетесь: отрезков, замкнутых шаров, параллелепипедов, сфер с пространственными дн произвольных размеров. Используя теорему 3, вы также можете легко установить некомпактность многих множеств. Например, бесконечный интервал, который не замкнут, но и не ограничен множеством, не является компактным. Заметим, что по той же теореме 3 Лемма§ 18.2 7 может быть сформулирована следующим образом: если 2 замкнутых множества не пересекаются, а хотя бы 1 компактно, то расстояние между ними будет больше нуля.

• Прежде чем перейти к другим характеристикам компактного множества, мы введем некоторые определения и докажем 1 вспомогательное утверждение. «Мерный куб {(2Д, κ-1, 2,….A) последовательность называется последовательностью вложенного Куба, если: Лемма 10.Замкнутый вложенный куб, длина ребра которого стремится к нулю как k-oo{?Для последовательности в&} Существует только одна точка, принадлежащая всем кубам в рассматриваемой последовательности. Доказательство. Давайте сделаем кубик. Ребра длины образуют вложенную последовательность Куб * * и пустьтmc1(k =0.Тогда отрезок[a^, ak)+ D-A）]k = 1, 2, образует систему вложенных сегментов, длина которых (1 (k)) стремится к нулю как k-*-oo. Таким образом, фиксируется 1 = 1, 2,…есть также уникальные числа, такие как, n. и любой k = 1, 2,…Для включения e ^ [a?\ a [k)+(1 k)\истинно.

То есть точка c =(E1,…En) принадлежит всем кубам рассматриваемой последовательности. e 0, k, k = 1, 2,…Этот момент уникален. Определение 30. Пусть E КН. Система Набор EniDn (21 = {a} это набор индексов a) называется крышкой набора. Итак, система (18.24) называется покрытием множества E, если каждая точка в этом множестве принадлежит хотя бы 1 множеству Ea системы P. Крышка (18.24) множества E, состоящая из конечного числа множества EAS, называется конечной крышкой этого множества. Если все множества системы П открыты, то крышка называется называется открытой крышкой множества E. Теорема 4.In

Для того чтобы компактировать множество, необходимо и достаточно уметь отличать конечную оболочку от любой из ее открытых оболочек. Людмила Фирмаль

• Доказательство необходимости. A представляет собой компактный набор, а система Крышка открыта. Предположим, что невозможно отличить конечное покрытие компакта A от этого покрытия. Согласно теореме 3, из того факта, что множество a компактно, оно будет ограничено. Следовательно, существует замкнутый куб 3, содержащий множество A. Позвольте мне. Разбить кубик с? 2n равных замкнутых кубов ( $ ; форма определяется множеством N неравенств **Я согласился всегда иметь в виду только Кубы, определенные в данной фиксированной системе координат (18.23) неравенства(см. раздел 18.1). (На рисунке 85 показан случай n = 2), то В системе (18.25) каждое множество ПОON / (/=1, 2,…2 ноября.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Окрестности точек. Пределы последовательностей точек.	Многомерные векторные пространства.
Различные типы множеств.	Функции многих переменных.