Комплексные числа и операции над ними. Разложение полинома на множители

Для решения некоторых задач действительных чисел может оказаться недостаточно и поэтому возникает необходимость в расширении множества действительных чисел. Попробуем, например, решить уравнение

Действительных решений оно не имеет, однако формально мы можем найти его корни, если введем в рассмотрение символ

который мы назовем мнимой единицей. Тогда из данного уравнения следует, что

Введем теперь следующее важное

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида

где — действительные числа, — мнимая единица.

Множество всех комплексных чисел мы обозначим через С.

Для комплексного числа действительные числа и у называются, соответственно, его действительной и мнимой частями. Обозначаются действительная и мнимая части, соответственно, через . Комплексные числа называются, соответственно, противоположным и сопряженным к комплексному числу . Используя эту терминологию можно сказать, иго приведенное выше квадратное уравнение имеет пару комплексно-сопряженных корней .

Комплексное число, мнимая часть которого равна нулю, т.е. число вида , которое мы будем обозначать через х, отождествляется с действительным числом х и, таким образом, множество действительных чисел R является подмножеством множества комплексных чисел С или, иначе, множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел. Здесь уместно отметить, что « формулированная идея расширения множества действительных чисел до комплексных оказалась чрезвычайно плодотворной как в самой математике, так и в ее приложениях, например, в физике, механике, электротехнике, где аппарат комплексных чисел очень активно используется.

Комплексное число с нулевой действительной частью, а. именно, число , которое мы будем записывать как , называется чисто мнимым.

Два комплексных числа считаются равными, если действительная и мнимая части одного из них равны, соответственно, действительной и мнимой частям другого.

Чтобы иметь возможность использовать комплексные числа, следует определить алгебраические операции над ними. Этим мы сейчас и займемся.

Пусть — два комплексных числа.

Суммой комплексных чисел называется комплексное число , которое находится сложением соответствующих выражений:

Тогда разностью этих комплексных чисел называется число .

Произведением комплексных чисел называется комплексное число . которое мы можем найти, перемножив выражения для данных комплексных чисел и учитывая при этом, что . В результате получим:

Прямой проверкой мы можем убедиться в том, что операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, сформулированными для действительных чисел (глава IV, §1, свойства 1). 2). 5)). Роль комплексных. единицы и нуля выполняют действительные числа и .

Чтобы определить операцию деления комплексных чисел, покажем сначала, что для любого существует единственное обратное комплексное число , т.е. число, для которого выполняется равенство . Для этого умножим обе части последнего равенства на сопряженное к z комплексное число z. В результате получим: