Для связи в whatsapp +905441085890

Конические сечения

Конические сечения

Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся).

1-й случай. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим Конические сечения (фронталь-но-проецирующая плоскость Конические сечения, рис. 7.11).

2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по окружности (горизонтальная плоскость Конические сечения рис. 7.11).

Конические сечения

3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость Конические сечения параллельна одной образующей Конические сечения рис. 7.12).

4-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость Конические сечения параллельна двум образующим Конические сечения и Конические сечения, рис. 7.13).

5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость Конические сечения, рис. 7.14).

Конические сечения

Рассмотрим построение на проекциях конуса линий пересечения для всех пяти случаев сечений. 1-й и 2-й случаи. На рис. 7.11 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью Конические сечения, проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью Конические сечения, расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость Конические сечения пересекает поверхность конуса по образующим Конические сечения, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки Конические сечения, лежащей на основании конуса.

Плоскость Конические сечения пересекает поверхность конуса по окружности радиуса Конические сечения, ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 7.12 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью Конические сечения, расположенной параллельно одной образующей конуса Конические сечения.

Плоскость Конические сечения пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена).

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности: -точка Конические сечения — лежит на проекциях характерной образующей

Конические сечения

-точки Конические сечения — лежат на проекциях характерных образующих Конические сечения и Конические сечения, горизонтальные проекции которых построены с помощью параллели радиусом Конические сечения (алгоритм I);

-точки Конические сечения — лежат на окружности основания конуса: горизонтальные проекции этих точек определяются по линии связи на горизонтальной проекции окружности основания, а их профильные проекции построены по координате Конические сечения

  • проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате Конические сечения).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 7.13 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью Конические сечения, расположенной параллельно двум образующим конуса Конические сечения и Конические сечения.

Плоскость Конические сечения пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза Конические сечения

Оформление очерков проекций видно из чертежа

На рис. 7.13 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости Конические сечения под углом Конические сечения к оси конуса. При Конические сечения плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

Конические сечения

5-й случай. На рис. 7.14 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью Конические сечения, пересекающей все образующие конуса под углом Конические сечения к оси, отличным от прямого.

Плоскость Конические сечения пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 я промежуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Точки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции по координате Конические сечения (алгоритм 1).

Конические сечения

Оформление очерков проекций видно из чертежа. !!! Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

Построение проекций прямого конуса со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.15 показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью Конические сечения и профильной плоскостью Конические сечения

Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

Конические сечения

Графический алгоритм: 1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания Конические сечения и высоте Конические сечения фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью Конические сечения и профильной плоскостью Конические сечения. 2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выполнить графический анализ сечений.

2.7. Фронтально-проецирующая плоскость Конические сечения параллельна одной образующей конуса Конические сечения и пересекает его поверхность по участку параболы Конические сечения, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения Конические сечения плоскостей срезов Конические сечения и Конические сечения.

2.2. Профильная плоскость Конические сечения параллельна двум образующим конуса Конические сечения и Конические сечения и пересекает его поверхность по участку гиперболы Конические сечения, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов Конические сечения и Конические сечения и плоскости Конические сечения с основанием конуса (4-4).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза а определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы Конические сечения, построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

-точка Конические сечения лежит на образующей Конические сечения;

-точки Конические сечения и Конические сечения построены по принадлежности соответствующим параллелям (алгоритм I).

3.2. Плоскость среза Конические сечения определяет вертикальный видимый отрезок 4′-4′ вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки 4(4′) которой лежат на очерковой окружности основания конуса.

!!! Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок Конические сечения.

4.2. Внутренний контур определяет видимый участок параболы Конические сечения.

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы Конические сечения, построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

  • точка Конические сечения — лежит на характерной образующей Конические сечения,

-точки Конические сечения — лежат соответственно на характерных образующих Конические сечения и Конические сечения;

  • точки Конические сечения — построены по координате Конические сечения.

5.2. Плоскость среза Конические сечения определяют видимые участки гиперболы Конические сечения, ограниченные видимым отрезком Конические сечения (построен) и видимым отрезком Конические сечения, точки которого построены по координате Конические сечения.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

  • слева — участок Конические сечения образующей Конические сечения;
  • справа — участок Конические сечения образующей Конические сечения;
  • сверху — участок параболы Конические сечения;
  • снизу — проекция основания конуса.

6.2. Внутренний контур определяют:

  • видимые участки параболы Конические сечения
  • видимый отрезок Конические сечения пересечения плоскостей срезов Конические сечения и Конические сечения;
  • видимые участки гиперболы Конические сечения.

7-е действие. Оформить чертеж конуса выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Геометрические тела — цилиндр конус
Коническая поверхность вращения — прямой круговой конус
Торовая поверхность — тор
Сферическая поверхность — шар