Для связи в whatsapp +905441085890

Контрольная работа на тему: нахождение асимптот трафика функции

Оглавление:

Задание: Нахождение асимптот трафика функции.

Цель: формирование умения находить асимптоты графика функции.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

17.1 .Запомните основные виды асимптот графика функции. Проанализируйте, в каких случаях график функции имеет вертикальную асимптоту, в каких — горизонтальную или наклонную.

17.2. Детально изучите и постарайтесь освоить алгоритм, позволяющий находить асимптоты графика функции.

17.3. Найдите асимптоты графика функции:

17.4. Найдите асимптоты графика функции:

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Поиск асимптот является одним из важных этапов построения графиков функций.

Асимптоты бывают трех видов: вертикальная, горизонтальная и наклонная.

  1. Прямая называется вертикальной асимптотой функции , если .
  2. Прямая называется горизонтальной асимптотой функции , если .
  3. Прямая называется наклонной асимптотой функции , если .

На чертеже асимптоты принято обозначать пунктирными линиями.

Рассмотрим следующий искусственно составленный график функции (рис.1), на примере которого хорошо видны все виды асимптот:

Горизонтальные и наклонные асимптоты рассматриваются только при условии . Иногда их различают на горизонтальные и наклонные асимптоты при и .

Для поиска асимптот удобно использовать следующий алгоритм:

1. Для поиска вертикальных асимптот находим точки, не принадлежащие области определения () и проверяем следующее условие: если , то — вертикальная асимптота.

Вертикальных асимптот может быть одна, несколько или не быть совсем.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .

  • Если — число, то — горизонтальная асимптота;
  • Если — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим .

  • Если — число, отличное от 0, то находим . Тогда — наклонная асимптота;
  • Если — бесконечность, то наклонных асимптот нет.

Если функция представляет собой отношение двух многочленов, то при наличии у функции горизонтальных асимптот наклонные асимптоты искать не будем — их нет.

Рассмотрим примеры нахождения асимптот функции:

Пример 1.

Найдите асимптоты графика функции .

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке .

Получили, что , следовательно, — вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: . Т.к. (число), то — горизонтальная асимптота.

Так как функция представляет собой отношение многочленов, то при наличии горизонтальных асимптот утверждаем, что наклонных асимптот нет.

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту .

Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту и горизонтальную асимптоту .

Пример 2.

Найдите асимптоты графика функции .

Решение:

1. Найдем область определения функции: .

Проверим, является ли прямая вертикальной асимптотой. Для этого вычислим предел функции в точке .

Получили, что , следовательно, — вертикальная асимптота.

2. Для поиска горизонтальных асимптот находим .

Поскольку в пределе фигурирует неопределенность , воспользуемся правилом Лопиталя: . Т.к. — бесконечность, то горизонтальных асимптот нет.

3. Для поиска наклонных асимптот находим :

Получили неопределенность вида , воспользуемся правилом Лопиталя:

. Итак, . Найдем по формуле: .

Получили, что . Тогда — наклонная асимптота. В нашем случае она имеет вид: .

Таким образом, данная функция имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту .

Ответ: график функции имеет вертикальную асимптоту и наклонную асимптоту .

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Контрольная работа на тему: на определение промежутков возрастания и убывания, нахождение экстремумов функции
Контрольная работа на тему: определение промежутков выпуклости, вогнутости графика функций, нахождение точек перегиба
Контрольная работа на тему: полное исследование функции и построение графика
Контрольная работа на тему: интегральное исчисление функции одной действительной переменной