Оглавление:
Задание 36. Нахождение двойных интегралов но прямоугольной области и произвольной области 1 типа -2 ч.
Целы формирование умения вычислять двойные интегралы по прямоугольной и криволинейной областям.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
36.1. Выясните, какая область интегрирования является прямоугольной. Запишите и запомните формулы сведения двойного интеграла к повторному по данной области. Внимательно изучите пример вычисления двойного интеграла по прямоугольной области.
36.2. Вычислите двойной интеграл от функции 
по прямоугольной области 
:
, область ограничена линиями: 
36.3. Выясните, какая область интегрирования является криволинейной. Запишите и запомните формулу сведения двойного интеграла к повторному по данной области. Внимательно изучите пример вычисления двойного интеграла по криволинейной области.
36.4. Вычислите двойной интеграл от функции по криволинейной области , ограниченной линиями:
36.5. Вычислите двойной интеграл по произвольной области :
ограничена 
Методические указания no выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Двойным интегралом от функции 
по области называется предел последовательности интегральных сумм, не зависящий ни от способа разбиения области на элементарные области, ни от выбора точек в них, при условии, что число слагаемых каждой интегральной суммы неограниченно возрастает, а наибольший из диаметров разбиения стремится к нулю: 
.
Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному с применением соответствующей формулы. Вид формулы, по которой осуществляется сведение, зависит от типа области интегрирования. Различают два типа области интегрирования: прямоугольную и криволинейную. Поэтому при вычислении двойного интеграла возникают две ситуации.
1. Область интегрирования на плоскости 
является прямоугольной, т.е. ограничена прямыми 
, причем 
(рис.1). В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:
или
2. Область интегрирования на плоскости является криволинейной областью, т.е. ограничена снизу и сверху непрерывными кривыми 
и 
, а слева и справа — отрезками прямых 
и 
так, что любая прямая, параллельная оси 
и проходящая внутри отрезка 
пересекает границу области (кривые и ) в двух точках (рис.2).
В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:
При вычислении двойных интегралов удобно использовать следующий алгоритм:
- Построить область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (исключением может быть случай прямоугольной области).
- Определить тип области и в соответствии с ним составить формулу сведения двойного интеграла к повторному.
- Вычислить полученный повторный интеграл.
Рассмотрим примеры вычисления двойных интегралов.
Пример 1.
Вычислите двойной интеграл 
по прямоугольной области , ограниченной прямыми 
.
Решение:
Воспользуемся алгоритмом вычисления двойного интеграла. Поскольку область интегрирования является прямоугольной, мы не будем изображать её в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
1. Для вычисления двойного интеграла но прямоугольной области используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае 
. Следовательно, 
.
2. Вычислим полученный повторный интеграл:
Таким образом, окончательно имеем:
Этот двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также с использованием формулы
Тогда 
.
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислите двойной интеграл 
по области , ограниченной линиями 
и 
.
Решение:
Воспользуемся алгоритмом вычисления двойного интеграла.
1) Построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (рис.З) . Линия, задаваемая уравнением 
, — прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.
Линия, задаваемая уравнением 
, — прямая. Построим ее по двум точкам:
Линия, задаваемая уравнением , — прямая, параллельная оси и проходящая через точку (1;0).
В итоге, область интегрирования обозначена на рис. 29.5. штриховкой.
2) Область интегрирования является криволинейной областью. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае 
. Следовательно,
3) Вычислим полученный повторный интеграл:
Таким образом, окончательно имеем:
Ответ: 
.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
