Оглавление:
Задание: Нахождение несобственных интегралов.
Цель: формирование умения находить несобственные интегралы I рода.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
31.1. Какие интегралы называют несобственными интегралами I и II рода? В каких случаях несобственный интеграл называют сходящимся, а в каких расходящимся? В чём заключается техника нахождения несобственных интегралов 1 рода?
31.2. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость:
31.3. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость:
Методические указания по выполнению работы:
Несобственными будем считать интегралы двух видов:
1. Определённые интегралы от непрерывной функции, у которых один или оба пределы интегрирования равны бесконечности: 
. Их называют несобственными интегралами I рода.
2. Определённые интегралы от разрывной функции с конечными пределами интегрирования. Их называют несобственными интегралами II рода.
Для нахождения несобственных интегралов I рода будем использовать формулы:
, 
, 
(*), где 
— произвольное число.
Если найденный предел равен конечному числу, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если указанный предел не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл
расходится.
Удобен следующий алгоритм нахождения несобственных интегралов:
- Проверьте, является ли подынтегральная функция непрерывной на области интегрирования.
- Используя одну из формул (*) от несобственного интеграла перейдите к пределу.
- Отдельно найдите определённый интеграл с переменной границей
, 
или . - Подставьте полученное выражение под знак предела и найдите его значение.
- Проанализируйте, является ли исходный интеграл сходящимся (значение предела — конечное число) или расходящимся (значение предела — бесконечность).
Рассмотрим примеры нахождения несобственных интегралов I рода.
Пример 1.
Вычислите несобственный интеграл или установить его расходимость: 
.
Вычислите несобственный интеграл или установить его расходимость: .
Решение:
1. Подынтегральная функция 
непрерывна на промежутке 
.
2. Воспользуемся формулой: 
. Тогда 
.
3. Отдельно найдём определённый интеграл с переменной границей :
4. Подставим полученное выражение под знак предела и найдём его значение:
5. Так как значение предела бесконечность, несобственный интеграл расходится.
Ответ: расходится.
Пример 2.
Вычислите несобственный интеграл или установить его расходимость: 
.
Решение:
1. Подынтегральная функция 
непрерывна на промежутке 
.
2. Воспользуемся формулой: 
. Тогда 
.
3. Отдельно найдём определённый интеграл с переменной границей 
. Избавимся от знака «минус», поменяв границы интегрирования местами: 
.
4. Подставим полученное выражение под знак предела и найдём его значение:
5. Поскольку значение предела — конечное число, то несобственный интеграл сходится.
Ответ: 
.
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
