Оглавление:
Задание: Нахождение производной сложной функции.
Цель: формирование умения находить производную сложной функции.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
13.1. Выучите, какую функцию называют сложной. Запомните правило дифференцирования сложной функции. Изучите технику нахождения производной сложной функции.
13.2. Найдите производную сложной функции:
13.3. Найдите производную сложной функции в точке:
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Рассмотрим функции 
и 
. Тогда функция 
будет называться сложной функцией. Например, если 
, а 
, то 
будет являться сложной функцией.
Для нахождения производной сложной функции используется следующая теорема, если функция 
дифференцируема по переменной 
, а функция 
дифференцируема по переменной 
, то сложная функция дифференцируема по переменной , причем её производная вычисляется по формуле: 
.
Функцию называют основной функцией, a — «сложностью». Тогда правило нахождения производной сложной функции будет иметь вид: производная сложной функции равна производной основной функции, умноженной на производную «сложности»: 
Для нахождения производных конкретных сложных функций целесообразно использовать следующую технику: принять какое-либо выражение за , чтобы прийти к одной из формул таблицы «Формулы дифференцирования сложных функций».
Формулы дифференцирования сложных функций
Рассмотрим нахождение производных сложных функций на конкретных примерах.
Пример 1.
Найдите производную функции .
Решение:
Функция — сложная функция. Обозначим и придем к показательной функции . Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:
. Заменяя через 
придем к производной вида:
Ответ: 
.
Пример 2.
Найдите производную функции 
.
Решение:
Функция — сложная функция. Обозначим 
и придем к тригонометрической функции 
. Найдем ее производную по таблице производных сложных функций:
Ответ: 
.
Пример 3.
Найдите производную функции 
в точке 
.
Решение:
Сначала продифференцируем данную функцию. Функция — сложная функция. Представим исходную функцию в виде степени: 
. Обозначим 
и придем к степенной функции вида 
. Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: 
. Итак, 
.
Затем в найденную производную 
вместо аргумента подставим . Получим: 
Ответ: 
.
Пример 4.
Найдите производную функции 
.
Решение:
Функция 
— сложная функция. Обозначим 
и придем к обратной тригонометрической функции 
. Найдем ее производную по таблице производных сложных функций: 
.
Однако, мы видим, что 
тоже сложная функция. Обозначив 
и придя к показательной функции 
, найдем её производную по таблице производных сложных функций: 
(здесь мы применили краткую запись решения).
Получили, что 
.
Ответ: 
.
