Для связи в whatsapp +905441085890

Контрольная работа на тему: обыкновенные дифференциальные уравнения

Задание: Решение дифференциальных уравнений с разделёнными и разделяющимися переменными.

Цель: формирование умений решать дифференциальные уравнения первого порядка: простейшие, с разделёнными и разделяющимися переменными.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

45.1. Какие дифференциальные уравнения называют простейшими первого порядка? Какова техника их решения?

45.2. Решите простейшее дифференциальное уравнение первого порядка:

45.3. Найдите частное решение простейшего дифференциального уравнения первого порядка:

45.4. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называют уравнениями с разделёнными и разделяющимися переменными? Какова техника их решения?

45.5. Решите дифференциальное уравнение с разделёнными и разделяющимися переменными:

45.6. Найдите решение задачи Коши:

45.7. Определите численность населения России через 5 лет, считая, что скорость прироста населения пропорциональна его количеству (коэффициент пропорциональности ), и зная, что в население России в начале 2010 года составляло 141,9 млн. человек, а прирост населения за 2010 год был равен (-0,06)%.

Методические указания по выполнению работы:

Выделяют следующие виды дифференциальных уравнений первого порядка:

1. Простейшие дифференциальные уравнения — уравнения вида .

Метод решения: взять интеграл от правой и левой части по переменной .

Пример 1.

Найдите решение дифференциального уравнения .

Решение:

Поскольку перед нами простейшее дифференциальное уравнение первого порядка, найдем его решение по формуле :

— общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Пример 2.

Найдите частное решение уравнения , если .

Решение:

Общее решение заданного дифференциального уравнения имеет вид:

(см. пример 1). Воспользуемся начальными условиями: , следовательно, при . Подставим эти числа в общее решение:

. Выразим из данного уравнения .

Подставив найденное значение в общее решение , получим следующее частное решение дифференциального уравнения: .

Ответ: .

2. Дифференциальные уравнения с разделёнными переменными — уравнения вида .

Если дифференциальное уравнение путем преобразований можно привести к виду , то оно называется дифференциальным уравнением с разделяющимися
переменными.

Метод решения: проинтегрировать обе части уравнения: .

Пример 3.

Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение:

Данное дифференциальное уравнение представляет собой уравнение с разделенными переменными. Проинтегрируем обе части уравнения:

. Тогда

— общее решение дифференциального уравнения .

Ответ: .

Для решения уравнений с разделяющимися переменными целесообразно использовать следующий алгоритм:

  1. Если в уравнении встречается , то представьте его как .
  2. Произведите разделение переменных (в одной части при соберите выражения, содержащие только переменную ; в другой части при соберите выражения, содержащие только переменную ).
  3. Почленно проинтегрируйте обе части уравнения с разделёнными переменными.
  4. Выпишите в ответе получившееся общее решение дифференциального уравнения.

Пример 4.

Найдите решение дифференциального уравнения: .

Найдите решение дифференциального уравнения: .

Решение:

1. Данное уравнение — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Представим , тогда или .

2. Будем собирать множители с в левой части, с — в правой: .

3. Интегрируя обе части, получим: или — общее решение.

Ответ: .

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Контрольная работа на тему: нахождение радиуса и интервала сходимости степенного ряда
Контрольная работа на тему: разложение функций в ряд Маклорена
Контрольная работа на тему: решение однородных дифференциальных уравнений
Контрольная работа на тему: решение линейных дифференциальных уравнений