Оглавление:
Задание:. Приложения двойных интегралов в геометрии.
Цель: формирование умения применять двойные интегралы для вычисления объёмов цилиндрических тел и площадей плоских геометрических фигур.
Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:
37.1. Выучите определение цилиндрического тела. Выясните, как используется двойной интеграл для вычисления его объёма. Внимательно изучите пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.
37.2. Вычислите объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью 
, а снизу — прямоугольной областью 
:
37.3. Вычислите объём цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , а снизу — областью :
37.4. Выясните, как используется двойной интеграл для вычисления площади плоской геометрической фигуры. Внимательно изучите пример нахождения площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.
37.5. Вспомните, как вычисляется площадь плоской фигуры с помощью определённого интеграла. Проведите сравнительный анализ техник двойного и определённого интегрирования для вычисления площадей плоских фигур.
37.6. Вычислите площадь плоской геометрической фигуры, ограниченной линиями:
Методические указания по выполнению работы:
Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:
Двойной интеграл используется для вычисления объёма цилиндрического тела и нахождения площади плоской геометрической фигуры.
Рассмотрим функцию 
, непрерывную и неотрицательную в некоторой замкнутой области плоскости 
. Тело, ограниченное сверху поверхностью , снизу — замкнутой областью , с боков — цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси 
, а направляющей служит граница области , называется цилиндрическим (цилиндроидом) (рис. 1).
Геометрический смысл двойного интеграла заключается в том, что величина двойного интеграла от неотрицательной функции равна объему цилиндрического тела: 
.
Рассмотрим пример вычисления объёма цилиндрического тела с помощью двойного интеграла.
Пример 1.
Найдите объём цилиндрического тела, изображённого на рисунке (рис.2), ограниченного сверху поверхностью 
, снизу — плоскостью , с боков плоскостями 
.
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от неотрицательной функции равен объёму цилиндрического тела, будем использовать формулу: .
В нашем случае . Область интегрирования 
, что хорошо видно на рисунке, представляет собой фигуру на плоскости , ограниченную прямыми , т.е. является прямоугольной областью. Следовательно, для нахождения объёма данного цилиндрического тела надо вычислить двойной интеграл по прямоугольной области, т.е.
Будем использовать соответствующую формулу сведения двойного интеграла к повторному:
Таким образом, 
.
Вычислим полученный повторный интеграл:
В итоге 
. Следовательно, 
.
Ответ: .
Пример 2.
Найдите объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью 
, снизу — областью плоскости , представляющей собой прямоугольный треугольник, образованный координатными осями и прямой 
.
Решение:
В силу геометрического смысла двойного интеграла от неотрицательной функции, для нахождения объёма цилиндрического тела будем использовать формулу:
Вычислим двойной интеграл 
по области . Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом: 
. Построим эту прямую по двум точкам:
Изображенная на рисунке область интегрирования (рис.З) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае 
.
Найдем 
как абсциссу точки пересечения прямой с осью 
, решив уравнение: 
.
Получим 
, значит 
. Следовательно,
Вычислим полученный повторный интеграл:
. В итоге, 
. Следовательно, 
.
Ответ: .
Рассмотрим в качестве 
в формуле единичную функцию 
. Тогда цилиндрическое тело «превратится» в прямой цилиндр с высотой, равной 1, и основанием — . Объём такого цилиндра 
численно совпадает с площадью 
его основания . Таким образом, площадь плоской фигуры можно находить но формуле:
Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции заключается в том, что величина двойного интеграла от единичной функции по области равна площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования .
Рассмотрим пример вычисления площади плоской фигуры с помощью двойного интеграла.
Пример 3.
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 
.
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования , будем использовать формулу: 
.
В нашем случае областью интегрирования является фигура, ограниченная линиями . Вычислим .
Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линии, задаваемые уравнениями 
, — прямые, параллельные оси 
и проходящие соответственно через точки (1 ;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением 
— гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу 
можно получить из гиперболы с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.
Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.
Изображенная на рисунке область интегрирования (рис.4) является криволинейной областью. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае 
. Следовательно, 
.
Вычислим полученный повторный интеграл:
В итоге, 
. Следовательно, 
.
Ответ: .
На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:
Готовые контрольные работы по высшей математике
Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:
