Контрольная работа на тему: решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции

Оглавление:

Целы формирование умения вычислять односторонние пределы, находить точки разрыва функции и классифицировать их.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

11.1 . Выучите определения односторонних пределов функции в точке и проанализируйте, как они вычисляются.

11.2. Вычислите односторонние пределы функции в указанной точке:

11.3. Выучите определения непрерывной в точке и на отрезке функции, точки разрыва функции. Изучите классификацию точек разрыва функции. Выясните, какая техника позволяет находить и классифицировать точки разрыва функции.

11.4. Найдите точки разрыва и определите их род для функции, заданной графически:

11.5. Исследуйте функцию на непрерывность в указанных точках. Если точка является точкой разрыва функции, определите ее род:

11.6. Найдите и классифицируйте точки разрыва для функции:

11.7. Выясните, при каком значении параметра функция будет непрерывной на всей области определения.

Методические указания по выполнению работы:

При решении задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции одним из главных умений является умение вычислять односторонние пределы функции: левосторонний и правосторонний.

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной только слева от точки , то такой предел называется левосторонним и обозначается .

Если при нахождении предела функции выбирать значения переменной только справа от точки , то такой предел называется правосторонним и обозначается .

Функция имеет в точке единый предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют как правосторонний, гак и левосторонний пределы, и они равны.

Пример 1.

Вычислите односторонние пределы функции

в точке .

Решение:

Для нахождения левостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, меньшие -2. Но при наша функция задается формулой . Таким образом, получим: . При нахождении правостороннего предела функции в точке будем выбирать значения переменной, большие -2. Но при наша функция задается формулой . Таким образом, получим: .

Ответ: .

Функция называется непрерывной в точке , если она определена в ней, существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т.е. .

Функция называется непрерывной на промежутке , если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Все элементарные функции (основные элементарные и полученные из них путем выполнения конечного числа арифметических операций или составления сложных функций) непрерывны на области определения.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е. и .

Если , то точка называется точкой устранимого разрыва.

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел не существует или равен бесконечности.

Пример 2.

Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение:

Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого но графику найдем односторонние пределы функции в этой точке:
и . Они существуют и конечны. Следовательно, точка является точкой разрыва I рода функции. Поскольку односторонние пределы не равны друг другу, точка будет точкой устранимого разрыва.

Ответ: — точка разрыва функции I рода (точка устранимого разрыва).

Пример 3.

Найдите точки разрыва и определите их род для функции , заданной графически:

Решение:

Непрерывность функции нарушена в единственной точке . Она будет точкой разрыва функции. Определим ее род. Для этого по графику найдем односторонние пределы функции в этой точке: и . Они существуют, и оба равны бесконечности. Следовательно, точка является точкой разрыва II рода функции.

Ответ: — точка разрыва функции II рода.

Если функция задана аналитически, для нахождения и классификации ее точек разрыва удобно использовать следующую технику:

1) выясните, является ли функция элементарной (если да, то она непрерывна на своей области определения);

2) найдите область определения функции и исследуйте на разрыв точки, не принадлежащие ей (но находящиеся внутри области); если перед Вами — функция — скобка, обратите внимание на повторяющуюся в способе задания точку;

3) найдите односторонние пределы функции в каждой из таких точек и в зависимости от этого классифицируйте разрыв (если односторонние пределы существуют и конечны, в точке — разрыв I рода; если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, в точке — разрыв II рода).

Пример 4.

Найдите точки разрыва функции и определите их род.

Решение:

Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.

Найдем и . Получили, что точки и являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем односторонние пределы функции в указанных точках.

Для точки , следовательно, — точка разрыва II рода.

Для точки

. Следовательно, — точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то — точка устранимого разрыва. Положив при , разрыв устранится, функция станет непрерывной.