Для связи в whatsapp +905441085890

Контрольная работа на тему: Составление уравнений кривых второго порядка и их построение

Цель: формирование умения составлять уравнения кривых второго порядка и выполнять их изображение.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

8.1. Выучите определения окружности, эллипса, параболы, гиперболы. Используя обобщающую таблицу, проанализируйте, с помощью каких уравнений задаются кривые второго порядка, каковы основные параметры каждой линии.

8.2. Определите вид кривой второго порядка и постройте ее:

8.3. Составьте уравнение кривой второго порядка по следующим условиям:

а) уравнение окружности с центром в точке и радиусом 3;

б) уравнение окружности с центром в точке , проходящей через точку ;

в) уравнения эллипса, большая полуось которого равна 3, малая полуось равна 1;

г) уравнение гиперболы, действительная полуось которой равна 6, мнимая полуось равна 2;

д) уравнение параболы, имеющей фокус в точке (1; 0);

е) уравнение параболы, уравнение директрисы которой имеет вид .

8.4. Определите вид кривой второго порядка и постройте ее:

Методические указания по выполнению работы:

Кривая второго порядка — линия на плоскости, задаваемая уравнением: , где коэффициенты — любые действительные числа при условии, что одновременно не равны нулю.

Выделяют следующие кривые второго порядка:

  1. Окружность — множество точек плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром.
  2. Эллипс — множество точек на плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (большая, чем расстояние между фокусами).
  3. Гипербола — множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух заданных точек (называемых фокусами) есть величина постоянная (меньшая, чем расстояние между фокусами).
  4. Парабола — множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки (называется фокусом) и данной прямой (называется директрисой).

Для того чтобы по заданному уравнению определить вид кривой второго порядка, удобно использовать следующую обобщающую таблицу:

Рассмотрим примеры решения типовых задач.

Пример 1.

Составьте уравнение окружности с центром и радиусом .

Решение:

Подставив и в каноническое уравнение окружности , получим: .

Пример 2.

Постройте эллипс, заданный уравнением .

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду , для этого разделим все члены уравнения на 32, добиваясь того, чтобы в правой части была 1:

При сравнении с каноническим видом отмечаем, что , откуда .

Эллипс будет иметь вид (рис. 1):

Пример 3.

Постройте гиперболу, заданную уравнением .

Решение:

Приведем уравнение к каноническому виду. Для этого разделим все его члены на 400: .

Из этого уравнения можем записать , т.е. , .

Выполним чертеж (рис. 2). Отметим, что ветви гиперболы будут стремиться к асимптотам, в качестве которых выступают диагонали прямоугольника со сторонами и .

Пример 4.

Найдите координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением и постройте её.

Решение:

Из канонического уравнения параболы следует, что , т.е. , откуда . Значит, точка — фокус параболы, а — уравнение ее директрисы.

На основании определения: любая точка параболы равноудалена от фокуса и директрисы, — схематически строим график параболы (рис. 3).

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Контрольная работа на тему: системы линейных уравнений
Контрольная работа на тему: прямая на плоскости, кривые второго порядка
Контрольная работа на тему: теория пределов, непрерывность
Контрольная работа на тему: решение задач на нахождение и классификацию точек разрыва функции