Для связи в whatsapp +905441085890

Контрольная работа на тему: теория рядов

Задание: Применение необходимого признака сходимости и свойств рядов.

Цель: формирование умения применять необходимый признак сходимости и свойства рядов при исследовании сходимости рядов.

Задание для самостоятельной внеаудиторной работы:

38.1. Выясните, что называется числовым рядом. Выучите определения сходящегося и расходящегося числового ряда. Проанализируйте, в чём заключается их глобальное отличие.

38.2. Сформулируйте необходимый признак сходимости. Внимательно изучите пример и запомните технику проверки выполнения необходимого признака сходимости для ряда.

38.3. Установите, выполняется ли для следующих рядов необходимый признак сходимости:

38.4. Проанализируйте, почему необходимый признак сходимости не является достаточным. Выясните, в чём заключается достаточное условие расходимости ряда. Рассмотрите пример его использования для ряда .

38.5. Применяя достаточное условие расходимости ряда, определите, какие из следующих рядов расходятся:

38.6. Перечислите основные свойства рядов. Изучите примеры
их использования при исследовании рядов на сходимость.

38.7. Известно, что ряды и сходятся, а ряды и расходятся. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость заданные ряды:

Методические указания по выполнению работы:

Для успешного решения задач необходимо знание следующего теоретического материала:

Пусть задана бесконечная числовая последовательность . Выражение вида называется числовым рядом. Числа называются членами ряда (соответственно первым, вторым и т.д. , -м или общим).

Для сокращенного обозначения ряда используется знак суммирования , а именно:

Рассмотрим ряд . Будем последовательно складывать его члены:

Полученные суммы называются частичными суммами ряда. Рассмотрим бесконечную числовую последовательность частичных сумм ряда . Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, т.е. . Данный предел называют суммой ряда. Таким образом, сходящийся ряд имеет сумму (ему можно приписать конкретное число).

Ряд называется расходящимся, если предел последовательности частичных сумм равен бесконечности или вовсе не существует. Расходящийся ряд суммы не имеет (ему нельзя приписать конкретное число).

Важными механизмами в установлении сходимости или расходимости ряда без использования последовательности его частичных сумм являются специальные признаки сходимости. Первый из них — необходимый признак сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда, если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, т.е. .

Пример 1.

Проверьте, выполняется ли необходимый признак сходимости для ряда .

Решение:

Найдём общий член ряда : . Вычислим . Так как , следовательно, необходимый признак сходимости для ряда выполняется. Однако, для установления сходимости (расходимости) ряда требуются дополнительные исследования.

Ответ: необходимый признак сходимости для ряда выполняется.

Условие стремления общего члена ряда к нулю является необходимым, но не достаточным условием сходимости ряда. Так, для гармонического ряда необходимый признак сходимости выполняется: , однако данный ряд расходится. Поэтому, если общий член ряда стремится к нулю, то о сходимости или расходимости ряда заранее ничего сказать нельзя.

На практике часто используется эквивалентное необходимому условию сходимости достаточное условие расходимости ряда: если или вовсе не существует, то ряд расходится.

Пример 2.

Исследуйте ряд на сходимость.

Решение:

Найдём общий член ряда : . Вычислим (при раскрытии
неопределённости использовали правило Лопиталя). Итак, (необходимый признак сходимости для ряда не выполняется). Таким образом, в силу достаточного условия расходимости, исследуемый ряд расходится.

Ответ: расходится.

Устанавливать сходимость или расходимость ряда в некоторых случаях позволяют свойства рядов. Рассмотрим основные свойства рядов.

Свойство 1. Если к ряду прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд сходится или расходится одновременно с данным.

Свойство 2. Если ряд сходится, и его сумма равна , то для произвольного числа ряд также сходится, и его сумма равна . Если же ряд расходится и , то и ряд расходится.

Свойство 3. Если ряды и сходятся, и их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды , причем сумма каждого равна соответственно . Другими словами: сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Из свойства 3 вытекают два следствия.

Следствие 3.1. Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

Следствие 3.2. Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Рассмотрим примеры использования свойств рядов при установлении их сходимости или расходимости.

Пример 3.

Известно, что ряд — сходится, а ряд расходится. Применяя свойства рядов, исследуйте на сходимость ряды: .

Решение:

а) Поскольку данный ряд получается из сходящегося ряда умножением на число 7 , следовательно, по свойству числовых рядов (свойство 2), он сходится.

б) Поскольку данный ряд представляет собой сумму сходящегося и расходящегося ряда, значит, по следствию из свойства рядов (следствие З.1.), он расходится.

Ответ: а) сходится; б) расходится.

На этой странице вы сможете посмотреть все остальные темы готовых контрольных работ по высшей математике:

Готовые контрольные работы по высшей математике

Обратите внимание на похожие контрольные работы возможно они вам будут полезны:

Контрольная работа на тему: нахождение двойных интегралов но прямоугольной области и произвольной области
Контрольная работа на тему: приложения двойных интегралов в геометрии
Контрольная работа на тему: исследование сходимости числовых положительных рядов
Контрольная работа на тему: исследование абсолютной и условной сходимости знакочередующихся рядов