Для связи в whatsapp +905441085890

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости функции находят с помощью следующей теоремы:

Теорема. 1. Если функция Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба имеет положительную вторую производную, то график функции на интервале Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба вогнутый.

2. Если функция Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба имеет отрицательную вторую производную, то график функции на интервале Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба выпуклый.

Представим критерий выпуклости-вогнутости функции в виде схемы:

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

Таким образом, исследовать функцию на выпуклость-вогнутость означает найти те интервалы области определения, в которых вторая производная сохраняет свой знак.

Заметим, что Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба может менять свой знак лишь в тех точках, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Такие точки принято называть критическими точками второго рода.

Только критические точки могут быть точками перегиба. Для их нахождения используется следующая теорема:

Теорема (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба при переходе через точку Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба меняет знак, то точка графика с абсциссой Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба является точкой перегиба.

При исследовании функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба на выпуклость-вогнутость и точки перегиба можно использовать следующий алгоритм:

  1. Найти область определения функции.
  2. Найти первую производную функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.
  3. Найти вторую производную функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.
  4. Определить критические точки второго рода (Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба или Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба не существует).
  5. На числовой оси отметить критические точки второго рода и определить знаки второй производной на каждом из получившихся интервалов.
  6. Найти интервалы выпуклости-вогнутости графика функции, используя соответствующие критерии; выписать абсциссы точек перегиба (если они есть) и значение функции в этих точках.

Пример №15.1.

Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Решение:

1. Данная функция определена на множестве Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

2. Найдем первую производную функции: Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

3. Найдем вторую производную функции: Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

4. Определим критические точки второго рода Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

5. На числовой оси отметим критическую точку Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба. Она разбивает область определения функции на два интервала Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба и Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба. Расставим знаки второй производной функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба на каждом из полученных интервалов:

при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба выпуклый при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба, вогнутый при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Значение Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба — абсцисса точки перегиба. Вычислим значение функции при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба:

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба. Итак, точка с координатами Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба — точка перегиба.

Ответ: график функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба выпуклый при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба, вогнутый при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба; Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба — точка перегиба.

Пример №15.2.

Найдите промежутки выпуклости и вогнутости, точки перегиба графика функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба. .

Решение:

1. Данная функция определена в том случае, когда знаменатель отличен от нуля: Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

2. Найдем первую производную функции:

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба
Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

3. Найдем вторую производную функции: Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

4. Вынесем в числителе Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба за скобки:

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба
Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба
Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

4. Определим критические точки второго рода: Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба не может быть равна нулю, поскольку числитель дроби Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба не существует, если Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба — критическая точка второго рода.

5. На числовой оси отметим критическую точку Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба выколотой точкой, поскольку в этой точке функция Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба не определена. Эта точка разбивает область определения функции на два интервала Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба и Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба. Расставим знаки второй производной функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба на каждом из полученных интервалов:

при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба

6. Согласно критерию выпуклости-вогнутости график функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба является выпуклым при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба, вогнутым при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Точка с абсциссой Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба не может быть точкой перегиба, т.к. в этой точке функция не существует (терпит разрыв).

Ответ: график функции Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба выпуклый при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба, вогнутый при Критерий выпуклости-вогнутости функции и точек перегиба.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

Достаточные условия существования экстремума
Понятие выпуклой и вогнутой функции
Понятие асимптот
Алгоритм поиска асимптот