Числовые последовательности

Последовательностью называют пронумерованный ряд чисел. Нумерация при этом может начинаться с любого целого числа (чаще всего с единицы) и заканчиваться каким-либо натуральным числом. Например:

В этом случае мы говорим о конечной последовательности. Чаще в курсе математического анализа рассматриваются бесконечные последовательности. При этом нумерация, как правило, начинается с 1. В этом случае мы определяем последовательность как функцию, заданную на множестве натуральных чисел, и записываем . Иногда для краткости мы будем писать просто или . При этом обычно этой функции соответствует функция , определенная при такая, что при . Такую функцию мы будем называть накрывающей. Однако в ряде случаев такую накрывающую функцию найти непросто, особенно если последовательность задана рекуррентным способом, то есть если каждый ее член определяется через предыдущие.

Простейшие свойства последовательностей.

Основным в курсе математического анализа является определение предела последовательности, однако прежде чем к нему переходить, дадим еще несколько интуитивно понятных и естественных определений.

Последовательность называется возрастающей, если ; строго возрастающей, если ; (соответственно определяются убывающая и строго убывающая последовательности);

• монотонной, если она убывающая или возрастающая;
• ограниченной сверху, если . Аналогично определяется ограниченная снизу последовательность. называется просто ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу;
• положительной (отрицательной), если , знакопостоянной, если она положительна или отрицательна, знакопеременной, если она содержит как положительные, так и отрицательные члены, и знакочередующейся, если знаки ее членов чередуются.

Иногда указанные термины употребляются и в том случае, когда соответствующее свойство выполняется не всегда, а лишь начиная с некоторого номера.

Пример 1.

a) — знакочередующаяся, ограниченная последовательность:

b) — положительная (при ), строго возрастающая неограниченная последовательность;

c) — неположительная ограниченная последовательность.

Упр. 1. Опишите свойства последовательностей, изображенных ниже на рисунках .

Пример 2.

Доказать, что последовательность монотонна и ограничена.

Решение:

, что очевидно. Таким образом, мы доказали, что последовательность монотонно возрастает. Докажем, что последовательность ограничена сверху (тот факт, что она ограничена снизу, очевиден: все члены последовательности положительные числа, и, следовательно, ). Оценим сверху дробь, определяющую : . Утверждение доказано.

Пример 3.

Доказать, что последовательность ограничена.

Решение.

Пример 4.

Доказать, что последовательность ограничена.

Решение 1-е.

Оценка снизу очевидна . Чтобы оценить последовательность сверху, запишем в виде , где . Используя неравенство Бернулли, получим, что . Следовательно, .

Решение 2-е.

Докажем сначала, что убывает. Для этого рассмотрим отношение и покажем, что оно меньше 1.

Пример 5.

Доказать, что последовательность монотонно убывает и ограничена.

Решение:

. Таким образом, монотонность доказана, причем, начиная с , монотонность строгая. Поскольку , то ограниченность очевидна.

Другой способ доказательства монотонности и ограниченности состоит в том, что для изучаемой последовательности рассматривается соответствующая накрывающая функция и с помощью производной показывается ее монотонность и ограниченность. Например, если , то . При использовании этого способа мы несколько забегаем вперед, однако «порочного круга» (утверждение доказывается с помощью , которое, в свою очередь, доказывается с использованием ) мы в данном случае можем не опасаться, поскольку доказательство условия монотонности функции не использует свойств последовательностей.

Предел последовательности.

Число называется пределом последовательности , если

(для любого положительного эпсилон существует число такое, что если номер больше , то отличается по модулю от меньше чем на эпсилон).

Пример 6.

. По заданному числу найти число .

Решение:

Сначала выдвигаем гипотезу, что . Неравенство выглядит так:

. Заметим, что нам не обязательно иметь точное значение . Достаточно получить такой номер, начиная с которого неравенство выполняется наверняка. В данном случае можно взять, например, .

Упр. 2. Для следующих последовательностей укажите по номер , начиная с которого выполняется неравенство .

Если последовательность имеет предел, то говорят, что она сходится, или является сходящейся. Если этим пределом является число , то пишут при .

Утверждение. Любая сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема об арифметических операциях с пределами. Если последовательности и являются сходящимися, то последовательности также являются сходящимися, причем:

Все то же самое верно и для отношения , но при дополнительном предположении, что .

Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Последовательность называется бесконечно малой (б.м.), если при .

Утверждение. Произведение б.м. последовательности на ограниченную есть б.м. величина.

Определение. Говорят, что последовательность стремится к бесконечности (и пишут ), если

Если выполняется условие , то говорят, что последовательность стремится к плюс бесконечности ().

Если выполняется условие , то говорят, что последовательность стремится к минус бесконечности ().

Последовательность называется бесконечно большой (б.б.), если при .

Утверждение. Произведение б.м. последовательности на ограниченную есть б.м. последовательность. Если ограниченную последовательность разделить на б.б., то получится б.м. последовательность.

Утверждение. Любая сходящаяся последовательность может быть представлена как сумма постоянной (равной пределу) и б.м. последовательности.

Примеры бесконечно малых последовательностей:

Примеры бесконечно больших последовательностей:

Дробно-рациональной функцией называется функция вида , где

Теорема о дробно-рациональной функции:

если , то ;

если , то ;

если , то .

Пример 7.

Теорема о переходе к пределу в неравенстве. Если последовательности и являются сходящимися и , то .

Теорема о сжатой последовательности. Пусть три последовательности , и при любом удовлетворяют неравенствам . Если последовательности и являются сходящимися и при этом , то последовательность также имеет предел и .

Теорема об ограниченной и монотонной последовательности. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теперь перейдем к разделу, содержащему важное применение этой теоремы.

Число . Для определения числа нам понадобятся две последовательности:

и .

Утверждение. Последовательность является строго убывающей.

Доказательство. Строгое убывание означает, что при выполняется неравенство . Это эквивалентно неравенству

Обозначим через дробь . Применяя неравенство Бернулли, получим , поскольку . Утверждение доказано.

Поскольку последовательность ограничена снизу (все ее члены положительны), то она имеет предел. Этот предел является положительным числом и обозначается через .

Упр. 3. Доказать, что последовательность является строго возрастающей.

Нетрудно заметить, что для любого выполняются неравенства , поскольку . Таким образом, .

Мы доказали, что обе последовательности и сходятся и имеют один и тот же предел, который и есть число .

Существует много способов определения числа . Например, к этому числу сходится последовательность

Ниже показаны первые значения последовательностей и :

Приближенное значение числа равно

Пример 8.

Доказать, что последовательность монотонно убывает, начиная с , и ограничена.

Решение:

.

Последнее неравенство при следует из предыдущего утверждения. При неравенство проверяется непосредственно.

Таким образом, монотонность доказана, причем, начиная с , монотонность строгая.

Поскольку , то ограниченность очевидна.

Рекуррентные последовательности.

Говорят, что последовательность задается рекуррентным соотношением, если каждый член этой последовательности является заданной функцией предыдущих членов этой же последовательности. При этом для корректного задания последовательности необходимо задать также значения одного или нескольких первых членов этой последовательности.

Примеры:

Пример 9.

Доказать, что последовательность, задаваемая начальным условием и рекуррентным соотношением , сходится, и найти ее предел.

Решение:

Сначала докажем методом математической индукции, что последовательность ограничена, а именно, что . База индукции очевидна, поскольку . Предположим теперь, что , и докажем, что . Имеем, что . Утверждение доказано.

Теперь докажем, что последовательность строго возрастает: . Поскольку и , то последнее неравенство очевидно. Монотонность доказана.

Из теоремы о монотонной ограниченной последовательности следует, что имеет предел. Обозначим этот предел через . Поскольку при , то из равенства следует, что . Поскольку , то .

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Много готовых курсовых работ по высшей математике

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Курсовая работа на тему: метод математической индукции

Курсовая работа на тему: элементы комбинаторики

Курсовая работа на тему: предел функции

Курсовая работа на тему: производная