Для связи в whatsapp +905441085890

Метод математической индукции

Пусть, как обычно, — множество натуральных чисел . Рассматривается высказывательная функция, определенная на , то есть высказывание, зависящее от натурального числа . Мы пишем при этом .

Аксиома индукции.

Если истинны утверждения , то истинно и утверждение .

При этом истинность высказывания называется базой индукции, а истинность импликации — индукционным переходом.

Пример 1.

Доказать, что для любого справедливо равенство

Решение:

Обозначим утверждение, которое выписано выше в условии примера, через . Заметим, что состоит в том, что . имеет такой вид: . имеет вид: .

Непосредственным подсчетом показываем, что верно. Предположим теперь, что верно . Рассмотрим утверждение . Оно имеет вид

Преобразуем левую часть.

Пример 2.

Пусть — некоторое множество, состоящее из элементов. Тогда число всех подмножеств этого множества равно .

Решение:

Высказывание выглядит следующим образом: Число подмножеств множества, состоящего из одного элемента, равно 2. Оно верно.

Предположим теперь, что верно высказывание , то есть верен факт, что число подмножеств множества из элементов равно , и рассмотрим множество , в котором на один элемент больше. Обозначим этот элемент через . Подмножествами множества являются либо подмножества множества , либо подмножества, в которых присутствует еще и элемент , то есть . Этим исчерпывается весь набор подмножеств , и, следовательно, их ровно в два раза больше, то есть . Индукционый переход доказан, и, следовательно, утверждение верно для любого .

Пример 3.

Пусть — любое вещественное число, не равное 1. Доказать, что для любого справедливо равенство

Решение:

Высказывание имеет вид . Оно проверяется простым перемножением. Предположим теперь, что верно высказывание . Тогда

Утверждение , таким образом, доказано.

Пример 4. (Неравенство Бернулли.)

Для любого верно высказывание

Решение:

Высказывание имеет вид , и оно, конечно, верно. Предположим теперь, что верно высказывание , то есть . Умножим это равенство на выражение . Получим: . Раскрывая скобки, получим . Утверждение , таким образом, доказано.

На этой странице найдёте другие готовые курсовые работы во высшей математике:

Много готовых курсовых работ по высшей математике

Можете посмотреть другие готовые курсовые работы по высшей математике:

Курсовая работа на тему: функции
Курсовая работа на тему: логические функции
Курсовая работа на тему: элементы комбинаторики
Курсовая работа на тему: числовые последовательности