Курсовая работа на тему: производная

Оглавление:

Приращение функции, производная и дифференциал. Рассмотрим произвольную функцию , определенную на некотором множестве , являющемся подмножеством вещественной оси, и пусть и — две точки из области определения функции. Если нас интересует, как меняется значение функции при переходе от к , то мы говорим, что задано приращение аргумента , и рассматриваем приращение функции . Заметим, что если не является изолированной точкой, то при условии, что , тот факт, что приращение функции является бесконечно малой величиной, означает непрерывность функции в точке .

Упр. 1. На рисунках изображены графики шести функций:

1) Сопоставьте каждой функции свой график.

2) Пусть . В каждом случае, используя рисунок, найдите приближенно приращение функции , если .

3) В каком случае величина не является бесконечно малой при ?

Подчеркнем, что если функция не является непрерывной в точке , то ее приращение в этой точке не является бесконечно малой величиной при стремлении к нулю. Этот случай нам не интересен. Если величина является бесконечно малой при и при этом отношение имеет предел, то этот предел называется производной функции в точке и обозначается любым из указанных ниже способов:

Отметим также, что вместо зачастую используется запись .

Если у функции существует производная, то в силу теоремы о выделении линейной части приращение можно представить в виде при . Сама линейная часть этого представления и называется дифференциалом функции (). Бесконечно малая величина называется дифференциалом переменной и обозначается через . Таким образом, запись есть просто упрощенное обозначение, сокращение, условная запись того факта, что рассматривается предел .

Повторим основные определения:

1. Дифференциалом переменной в точке называется приращение , рассматриваемое как бесконечно малая величина, то есть при , стремящемся к . Обозначение: .

2. Бесконечно малым приращением функции в точке называется разность , рассматриваемая при , стремящемся к . Обозначение: .

3. Производной функции в точке называется предел отношения бесконечно малого приращения функции в точке к дифференциалу переменной . Обозначение: .

Таким образом, .

4. Функция называется дифференцируемой в точке , если у нее есть конечная производная в этой точке.

5. Дифференциалом функции в точке называется линейная относительно часть в представлении бесконечно малого приращения функции:

Обозначение: . Другими словами, . Заметим, что дифференциал функции определяется только в случае, когда функция в данной точке дифференцируема.

Пример 1.

Таким образом, .

Пример 2.

Таким образом, .

Пример 3.

Таким образом, .

Упр. 2. Выведите формулы для производных функций: .

Получив таблицу производных основных (базисных) элементарных функций, мы можем расширять класс функций, производная которых нам известна, используя основные правила нахождения производных.

Основные правила:

Если — константа и — дифференцируемые функции, то:

;
если — функция, обратная к , то .

Пример 4.

Докажем, например, правило для вычисления производной частного. Пусть . Тогда:

Таким образом, правило доказано.

Заметим, что набор базисных элементарных функций, из которых возможно с помощью допустимых операций получить остальные, невелик, однако, чтобы не заниматься выводом формул для производных, мы предпочитаем сразу предложить таблицу производных, которую необходимо выучить наизусть.

Основные формулы:

Пример 5.

Геометрический смысл производной.

Рассмотрим график функции и предположим, что . Пусть . Рассмотрим также другую точку с координатами . Обозначим первую точку через , а вторую через . Прямая, проходящая через любые две точки графика, называется секущей, и в данном случае мы имеем дело с секущей . Угол наклона этой секущей к положительному направлению оси абсцисс нам интересен, поскольку по этому углу можно судить, насколько функция изменилась (увеличилась или уменьшилась) на промежутке (или , если ). На самом деле удобнее следить даже не за углом, а за его тангенсом, который задается формулой .

Зафиксируем точку . При приближении к ней точки секущая может вести себя по-разному. В «хороших», то есть более привычных нам, ситуациях она приближается к некоторому предельному положению. Это предельное положение называется касательной к функции в точке . Тангенс угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс и является производной функции в точке. Таким образом, приходим к классическому определению производной функции в точке :

В других обозначениях это выглядит так:

Пример 6.

На каждом из графиков, представляющих указанную функцию, изображен также график производной этой же функции.

Уравнение касательной к графику функции.

Предположим, что прямая проходит через точку , лежащую на графике функции , то есть такую, что . Это означает, что . Следовательно, уравнение имеет вид —

Коэффициент является тангенсом угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс, и поскольку прямая является касательной, то этот коэффициент равен производной функции в указанной точке, то есть . Таким образом, уравнение касательной имеет следующий вид:

, где .

Пример 7.

К графику функции проведена касательная в точке . Найти абсциссу точки пересечения этой касательной с прямой .

Решение:

Коэффициент , являющийся тангенсом угла наклона касательной к оси абсцисс, равен .

Уравнение касательной имеет вид . Таким образом, если , то .

Ответ: .

Пример непрерывной функции, не имеющей производной.

Если функция имеет производную в некоторой точке, то говорят, что она дифференцируема в этой точке. Не всякая непрерывная в точке функция дифференцируема в ней.

Упр. 3. На рисунках изображены графики функций, не имеющих производной в одной или нескольких точках. Укажите, в каких точках производные не определены. В каком случае определены производные «слева» и «справа»? В каких случаях можно говорить о том, что касательные к графику вертикальны?

Существенно сложнее конструируется пример функции, определенной и непрерывной на всей прямой, но не имеющей производной ни в одной точке. Более понятным читателю это построение станет после знакомства с темой «функциональные ряды».