Для связи в whatsapp +905441085890

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Дифференциальное уравнение вида

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. При Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением уравнение называется линейным однородным.

Общее решение линейного однородного ДУ имеет вид

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — два линейно независимых частных решения.

Для неоднородного линейного уравнения общее решение имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — частные решения линейного однородного уравнения, соответствующего неоднородному, а Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — частное решение неоднородного уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.

Решение этого уравнения ищется в виде

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — общее решение соответствующего однородного уравнения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

a Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — частное решение неоднородного уравнения (1).

Для нахождения общего решения уравнения (2) составляют характеристическое уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Для этого уравнения возможны три случая.

1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, корни уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением вещественные и Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, то общее решение уравнения (2) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, корни уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — вещественные, то общее решение уравнения (2) имеет вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением. Обозначим Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, тогда общее решение уравнения (2) будет иметь вид:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Частное решение Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением уравнения (1) может быть найдено методом неопределённых коэффициентов в следующих простейших случаях:

1. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — многочлен степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением с неопределёнными коэффициентами.

Если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением является корнем характеристического уравнения, то полагают

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — кратность корня Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

2. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением не являются корнями характеристического уравнения, то полагают

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

где Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — многочлены степени Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением с неопределёнными коэффициентами.

Если Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — корни характеристического уравнения, то

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Задача №102.

Решить ДУ Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Решение:

Составим характеристическое уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, т. e. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, тогда

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением — общее решение ДУ.

Задача №103.

Найти общее решение уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Составим характеристическое уравнение

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, т. е. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Общее решение соответствующего однородного уравнения

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Правая часть данного уравнения Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, причём Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением. Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Найдём первую и вторую производную:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Подставляем данные выражения в исходное уравнение:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением

Сократим на Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением и приравняем друг другу коэффициенты при Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением и свободные члены левой и правой частей равенства. Находим:

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, откуда Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Следовательно, Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением, а общее решение заданного уравнения имеет вид Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами задачи с решением.

Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:

Решение задач по высшей математике

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Вычисление несобственных интегралов задачи с решением
Дифференциальное уравнение первого порядка задачи с решением
Необходимый признак сходимости ряда задачи с решением
Первый признак сравнения рядов задачи с решением