Оглавление:
Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Дифференциальное уравнение вида
называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением. При уравнение называется линейным однородным.
Общее решение линейного однородного ДУ имеет вид
где — два линейно независимых частных решения.
Для неоднородного линейного уравнения общее решение имеет вид:
где — частные решения линейного однородного уравнения, соответствующего неоднородному, а — частное решение неоднородного уравнения.
Линейное дифференциальное уравнение
где — постоянные величины, называется линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами.
Решение этого уравнения ищется в виде
где — общее решение соответствующего однородного уравнения
a — частное решение неоднородного уравнения (1).
Для нахождения общего решения уравнения (2) составляют характеристическое уравнение
Для этого уравнения возможны три случая.
1. , корни уравнения вещественные и , то общее решение уравнения (2) имеет вид:
2. , корни уравнения — вещественные, то общее решение уравнения (2) имеет вид:
3. . Обозначим , тогда общее решение уравнения (2) будет иметь вид:
Частное решение уравнения (1) может быть найдено методом неопределённых коэффициентов в следующих простейших случаях:
1. , где — многочлен степени .
Если не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде:
где — многочлен степени с неопределёнными коэффициентами.
Если является корнем характеристического уравнения, то полагают
где — кратность корня .
2. .
Если не являются корнями характеристического уравнения, то полагают
где — многочлены степени с неопределёнными коэффициентами.
Если — корни характеристического уравнения, то
Задача №102.
Решить ДУ .
Решение:
Составим характеристическое уравнение
, т. e. , тогда
— общее решение ДУ.
Задача №103.
Найти общее решение уравнения .
Составим характеристическое уравнение
, т. е. .
Общее решение соответствующего однородного уравнения
Правая часть данного уравнения , причём , . Поэтому частное решение исходного уравнения ищем в виде:
Найдём первую и вторую производную:
Подставляем данные выражения в исходное уравнение:
Сократим на и приравняем друг другу коэффициенты при и свободные члены левой и правой частей равенства. Находим:
, откуда .
Следовательно, , а общее решение заданного уравнения имеет вид .
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны: