Оглавление:
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение 
, где 
и 
— постоянные числа.
Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения в виде 
, где 
.
Подставляя эту функцию и ее производные 
и 
в рассматриваемое уравнение, получим: 
. Так как 
, значит 
.
Следовательно, если 
будет удовлетворять полученному уравнению, которое называется характеристическим, то 
будет решением исходного уравнения.
Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их через 
и 
. При этом
Здесь возможны следующие случаи:
а) Корни характеристического уравнения действительны и различны.
В этом случае частными решениями будут функции 
и 
. Общим решением уравнения будет 
.
Пример №1
Решить уравнение 
.
Решение:
Характеристическое уравнение имеет вид 
. Корни характеристического уравнения: 
. Общее решение: 
.
б) Корни характеристического уравнения действительные и равные.
В этом случае мы имеем только одно частное решение , т.к. 
. При этом общее решение будет 
.
Пример №2
Решить уравнение 
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение 
. Найдем его корни: 
. Общим решением будет функция 
.
в) Корни характеристического уравнения комплексные.
Так как коэффициенты и характеристического уравнения действительные числа, то комплексные корни будут сопряженными. Причем, 
, где 
. Общее решение в рассматриваемом случае имеет вид 
.
Пример №3
Найти частное решение уравнения 
, удовлетворяющее начальным условиям 
.
Решение:
Составим характеристическое уравнение 
. Найдем его корни 
. Следовательно, общее решение есть 
. Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. На основании первого условия находим 
, откуда 
. Заметив, что 
, из второго условия получаем: 
, т.е. 
. Таким образом, искомое частное решение есть 
.
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Уравнения не содержащие: (y) |
| Уравнения, не содержащие x |
| Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами |
| Метод вариации произвольных постоянных |
