Оглавление:
Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде
где и — заданные функции, в частности — постоянные.
Особенность ДУ (48.11): искомая функция и ее производная входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (48.11) — метод И. Бернулли и метод Лагранжа.
Метод И. Бернулли
Решение уравнения (48.11) ищется в виде произведения двух других функций, т. е. с помощью подстановки , где и — неизвестные функции от , причем одна из них произвольна (но не равна нулю — действительно любую функцию можно записать как
где ). Тогда . Подставляя выражения и в уравнение (48.11), получаем: или
Подберем функцию так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, т. е. решим . Итак, , т. е. . Интегрируя, получаем:
Ввиду свободы выбора функции , можно принять . Отсюда
Подставляя найденную функцию в уравнение (48.12), получаем
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
Возвращаясь к переменной , получаем решение
исходного ДУ (48.11).
Пример №48.8.
Проинтегрировать уравнение .
Решение:
Полагаем . Тогда , т. е. . Сначала решаем уравнение :
Теперь решаем уравнение , т. е.
Итак, общее решение данного уравнения есть , т. е. .
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Уравнения с разделяющимися переменными |
Однородные дифференциальные уравнения |
Метод вариации произвольных постоянных |
Уравнение в полных дифференциалах интегрирующий множитель |