Оглавление:
Уравнение 
, где 
и 
— заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Если функция 
, стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е. 
, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.
Таким образом, 
— линейное однородное уравнение, а — линейное неоднородное уравнение.
Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений
1 метод.
Для решения уравнения применяют подстановку 
, причем функцию 
считают новой неизвестной функцией, а функцию 
подчиняют условию: 
. Данная подстановка приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно 
и 
. Произведение полученных функций даст общее решение линейного уравнения: .
Пример 1.
Решить уравнение 
.
Решение:
Здесь 
. Имеем: 
.
— общее решение линейного уравнения.
2 метод (Метод вариации произвольной постоянной).
В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через 
, легко находится. Затем находят общее решение неоднородного линейного уравнения , считая, что оно имеет такую же форму, как и общее решение соответствующего однородного уравнения , но где 
есть не постоянная величина, а неизвестная функция от 
, т.е. считая, что 
.
Полученное общее решение состоит из двух слагаемых: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.
Пример 2.
Найти общее решение уравнения 
.
Решение:
Интегрируем соответствующее однородное уравнение:
Считаем функцией : 
Подставляем в исходное уравнение:
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
| Уравнения с разделяющимися переменными |
| Однородные уравнения первого порядка |
| Уравнение Бернулли |
| Уравнения вида y(n) = f(x) |
