Для связи в whatsapp +905441085890

Линии на плоскости

Линии на плоскости

Основные понятия

Линия на плоскости часто задается как множество точек, обладающих некоторым только им присущим геометрическим свойством. Например, окружность радиуса Линии на плоскости есть множество всех точек плоскости, удаленных на расстояние Линии на плоскости от некоторой фиксированной точки Линии на плоскости (центра окружности).

Введение на плоскости системы координат позволяет определять положение точки плоскости заданием двух чисел — ее координат, а положение линии на плоскости определять с помощью уравнения (т. е. равенства, связывающего координаты точек линии).

Уравнением линии (или кривой) на плоскости Линии на плоскости называется такое уравнение Линии на плоскости с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты Линии на плоскости и Линии на плоскости каждой точки .пинии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Переменные Линии на плоскости и Линии на плоскости в уравнении линии называются текущими координатами — точек линии.

Уравнение линии позволяет изучение; геометрических свойств линии заменить исследованием его уравнения.

Так, для того чтобы установить лежит ли точка Линии на плоскостиЛинии на плоскости на данной линии, достаточно проверить (не прибегая к геометрическим построениям), удовлетворяют ли координаты точки Линии на плоскости уравнению этой линии в выбранной системе координат.

Пример №10.1.

Лежат ли точки Линии на плоскости и Линии на плоскости на линии Линии на плоскости?

Решение:

Подставив в уравнение вместо Линии на плоскости и Линии на плоскости координаты точки Линии на плоскости, получим Линии на плоскости. Следовательно, точка Линии на плоскости лежит на данной .пинии. Точка Линии на плоскости не лежит на данной линии, т. к. Линии на плоскости.

Задача о нахождении точек пересечения двух линий, заданных уравнениями Линии на плоскости и Линии на плоскости, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Линии на плоскости

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.

Аналогичным образом вводится понятие уравнения линии в полярной системе координат.

Уравнение Линии на плоскости называется уравнением данной линии в полярной системе координат, если координаты любой точки, лежащей на этой линии, и только они, удовлетворяют этому уравнению.

Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений:

Линии на плоскости

где Линии на плоскости и Линии на плоскости — координаты произвольной точки Линии на плоскости, лежащей на данной линии, a Линии на плоскости— переменная, называемая параметром; параметр Линии на плоскости определяет положение точки Линии на плоскости на плоскости.

Например, если Линии на плоскости, то значению параметра Линии на плоскости соответствует на плоскости точка (3; 4), т. к. Линии на плоскости.

Если параметр Линии на плоскости изменяется, то точка на плоскости перемещается, описывая данную линию. Такой способ задания линии называется параметрическим, а уравнения (10.1) — параметрическими уравнениями линии.

Чтобы перейти от параметрических уравнений линии к уравнению вида Линии на плоскости, надо каким-либо способом из двух уравнений исключить параметр Линии на плоскости. Например, от уравнений Линии на плоскости, путем подстановки Линии на плоскости во второе уравнение, легко получить уравнение Линии на плоскости; или Линии на плоскости, т. е. вида Линии на плоскости. Однако, заметим, такой переход не всегда целесообразен и не всегда возможен.

Линии на плоскости

Линию на плоскости можно задать векторным уравнением Линии на плоскости, где Линии на плоскости — скалярный переменный параметр. Каждому значению Линии на плоскости соответствует определенный вектор Линии на плоскости плоскости. При изменении параметра Линии на плоскости конец вектора Линии на плоскости опишет некоторую линию (см. рис. 31).

Векторному уравнению линии Линии на плоскости в системе координат Линии на плоскости соответствуют два скалярных уравнения (10.1), т. е. уравнения проекций на оси координат векторного уравнения линии есть ее параметрические уравнения.

Векторное уравнение и параметрические уравнения линии имеют механический смысл. Если точка перемещается на плоскости, то указанные уравнения называются уравнениями движения, а линия — траекторией точки, параметр Линии на плоскости при этом есть время.

Итак, всякой линии на плоскости соответствует некоторое уравнение вида Линии на плоскости.

Всякому уравнению вида Линии на плоскости соответствует, вообще говоря, некоторая линия, свойства которой определяются данным уравнением (выражение «вообще говоря» означает, что сказанное допускает исключения. Так, уравнению Линии на плоскости соответствует не линия, а точка (2; 3); уравнению Линии на плоскости на плоскости не соответствует никакой геометрический образ).

В аналитической геометрии на плоскости возникают две основные задачи. Первая: зная геометрические свойства кривой, найти ее уравнение; вторая: зная уравнение кривой, изучить ее форму и свойства.

На рисунках 32-40 приведены примеры некоторых кривых и указаны их уравнения.

Линии на плоскости
Линии на плоскости

Уравнение в прямоугольных координатах: Линии на плоскости, Линии на плоскости; в полярных координатах: Линии на плоскости.

Линии на плоскости

В полярных координатах ее уравнение имеет вид Линии на плоскости, где Линии на плоскости.

Линии на плоскости

Уравнение в полярных координатах имеет вид Линии на плоскости.

Линии на плоскости

Уравнение кривой Линии на плоскости или Линии на плоскости

Линии на плоскости

Уравнение в прямоугольных координатах: Линии на плоскости; параметрические уравнения: Линии на плоскости

Линии на плоскости

Уравнение в полярных координатах имеет вид Линии на плоскости, где Линии на плоскости. Кардиоида — частный случай улитки Паскаля Линии на плоскости.

Линии на плоскости

Уравнение кривой в полярных координатах Линии на плоскости, где Линии на плоскости — постоянное.

Линии на плоскости

Параметрические уравнения циклоиды имеют вид Линии на плоскости где Линии на плоскости. Циклоида — это кривая, которую описывает фиксированная точка окружности, катящаяся без скольжения по неподвижной прямой.

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Смешанное произведение векторов
Основные приложения метода координат на плоскости
Уравнения прямой на плоскости
Прямая линия на плоскости