Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Логарифмические неравенства с переменными основаниями

Решение логарифмических неравенств с переменными основаниями основано на свойствах логарифмической функции (§ 24, п. 1). Рассмотрим неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Если верно неравенство (1), то либо (рис. 24.1)

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

либо (рис. 24.2)

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Обратно, из (2) и (3) следует (1), т. е. неравенство (1) равносильно совокупности неравенств (2) и (3). Отсюда следует, что неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

равносильно совокупности двух систем неравентсв

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №296.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Неравенство (7) — это неравенство вида (4), в котором Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Поэтому неравенство (7) равносильно совокупности систем вида (5) и (6), которые запишутся так:

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Система (8) равносильна системе

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

откуда находимЛогарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Система (9) равносильна системе

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

откуда следует, что Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения так как Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Заметим, что из (2) следует, что Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и поэтому

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Аналогично, из (3) следует (10). Обратно, если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и выполняется условие (10), то либо справедливы неравенства (2), либо являются верными неравенства (3). Таким образом, неравенство (1) равносильно системе неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Отсюда следует, что неравенство (4) равносильно системе неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Пример №297.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Система (11) для неравенства (12) равносильна каждой из следующих систем

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

откуда следует, что Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Замечание. Метод сведения неравенства (4) к равносильной ему системе (11), использованный в примере 2, часто оказывается более эффективным, чем метод замены этого неравенства на равносильную ему совокупность неравенств (5), (6) (см. пример 1).

Обращаясь к неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

отметим, что неравенство Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения является верным при Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решениясм. рис. 24.2), а также при Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияи Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения (см. рис. 24.1). Отсюда следует, что неравенство (13) равносильно совокупности двух систем неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Как и для неравенства (4), совокупность систем (14) и (15) можно заменить следующей системой неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

которая равносильна неравенству (13).

Пример №298.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Для неравенства (17) равносильная ему система (16) имеет вид

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Система (18) равносильна следующей

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Так как Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения то множество решении системы (19) состоит из двух промежутков: Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ.Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Рассмотрим неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Это неравенство равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

при условии, что Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения (если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения или Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения то неравенство (20) теряет смысл).

Для получения системы неравенств, равносильной неравенству (20), нужно в системе (16) добавить условие Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и заменить Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решениянаЛогарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

В результате имеем систему неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

равносильную неравенству (20).

Замечание. Нестрогое неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

равносильно системе неравенств, которая получается из системы (21) заменой последнего ее неравенства на неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

с добавлением условия Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Пример №299.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Неравенство (22) равносильно неравенству:

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Для этого неравенства равносильная ему система неравенств (21), с учетом замечания 2, имеет вид

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Эта система равносильна системе я: < 3,

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Так как уравнение Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения имеет корни Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияЛогарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и выполняются неравенства Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения то множество решений системы (23) — совокупность двух промежутков Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияи Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ.Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Пример №300.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

которое равносильно совокупности следующих двух систем неравенств :

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Чтобы решить системы неравенств (24) и (25), построим графики функций Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения (рис. 24.7).

Эти графики пересекаются в точках Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения, абсциссы Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения которых являются корнями соответственно уравнений Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияоткуда находим Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

1) Если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения то график функции Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения лежит выше графика функции Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияПоэтому система (24) не имеет решений.

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

2) Если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решениято график функции Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения лежит выше графика функции Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения на интервалах Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияПоэтому множество решений системы (25) — объединение интервалов Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Пример №301.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Полагая Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и используя формулуЛогарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решениязапишем неравенство (26) в виде

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

откуда следует, что либо Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения либо Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

1) Пусть Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения т. е.

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

При Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения неравенства (26) и (27) теряют смысл, а при Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решениянеравенство (27) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения, то неравенство (28) принимает вид Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения откуда следует, что Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Таким образом, все положительные значения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения являются решениями неравенства (28) и исходного неравенства (26).

Если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения, то из (28) получаем Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения откуда Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Значит, решениями неравенства (28), а также неравенства (26) являются все значения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения из интервала Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

2) Пусть Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения т. е.

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Неравенство (29) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения, то неравенство (30) примет вид

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Неравенство (31) не имеет решений, так как Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения при Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения. Если Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения, то неравенство (30) записывается в виде

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Неравенство Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияравносильно неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

а неравенство Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияравносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решив неравенство (34) при условии (33), получим Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Пример №302.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решенияЛогарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Решение:

Неравенство (35) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

а неравенство (36) равносильно совокупности следующих систем:

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

1) Рассмотрим систему (37). Первое неравенство этой системы можно записать в виде Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения множество решений этого неравенства — интервал Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения с выброшенной из него точкой Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Так как Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения то второе неравенство системы (37) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

откуда Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения Следовательно, множество решений системы (37) интервал Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

2) Обратимся к системе (38). Первое неравенство этой системы равносильно неравенству Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения которому удовлетворяют все точки, лежащие вне отрезка Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Второе неравенство системы (38) равносильно системе

Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

откуда следует, что Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Значит, второму неравенству системы (38) удовлетворяют значения Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения из интервала Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения а системе (38) — точки из интервала Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Показательные неравенства с примерами решения
Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения
Тригонометрические неравенства с примерами решения
Неравенства и системы линейных неравенств с двумя переменными с примером решения