Логарифмические неравенства с постоянными основаниями с примерами решения

Логарифмические неравенства с постоянными основаниями

Рассмотрим свойства функции Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, используемые при решении логарифмических неравенств.

Логарифмическая функция Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения определена при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, является возрастающей при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (рис. 24.1) и убывающей при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (рис. 24.2), множество значений этой функции — множество Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения.

Простейшие логарифмические неравенства

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения


имеют решения при любом Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, то неравенство (1) справедливо при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения а неравенство (2) является верным при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения(рис. 24.1).

Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, то множеством решений неравенства (1) является интервал Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, а неравенство (2) является верным при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения(рис. 24.2). Неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения равносильно двойному неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

а при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения неравенство (3) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения
Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Примеры с решениями

Пример №280.

Решить неравенство Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Запишем данное неравенство в виде

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

и воспользуемся тем, что логарифмическая функция с основанием, большим единицы, является возрастающей (см. рис. 24.1). Получим Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения откуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №281.

Решить неравенствоЛогарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Так как Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения а логарифмическая функция с основанием, меньшим единицы, является убывающей (см. рис. 24.2), то данное неравенство равносильно неравенству Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияоткуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №282.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Данное неравенство равносильно каждому из следующих неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №283.

Решить неравенство Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Данное неравенство, записанное в виде

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

равносильно двойному неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Множество Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решениярешений неравенства Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения представляет собой объединение промежутков Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (рис. 24.3), а множество решений неравенства Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения равносильного неравенству Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения — интервал Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (см. рис. 24.3).

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Множество Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения решений исходного неравенства — это пересечение (общая часть) множеств Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения . Следовательно, Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения является объединением интервалов Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №284.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Данное неравенство, записанное в виде

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

равносильно системе неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Множество решений первого неравенства этой системы, равносильного неравенству Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения есть объединение промежутков Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияи Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (см. рис. 24.4).

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Множество решений второго неравенства системы, равносильного каждому из неравенств Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияЛогарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения есть отрезок Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения(см. рис. 24.4).

Поэтому множество решений системы неравенств представляет собой объединение промежутков Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №285.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Так как Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то, заменив сумму логарифмов на логарифм произведения, получим неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

которое неравносильно неравенству (4). Действительно, в неравенстве (4) левая часть определена при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения а в неравенстве (5) — при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Таким образом, при переходе от (4) к (5) область определения неравенства расширилась. Неравенства (4) и (5) равносильны, если

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Из (5) следует, что

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

а исходное неравенство (4) равносильно системе (6), (7). Неравенство (7) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

а система (6), (7) равносильна неравенству Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №286.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения определяются условием

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Если выполняется условие (10), то неравенство (9) равносильно каждому из следующих неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Таким образом, неравенство (9) равносильно системе неравенств (10), (11). Решив неравенство (11), находим, что либо Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения либо Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Следовательно, неравенство (9) равносильно совокупности неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №287.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Неравенство (12) имеет смысл, если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

так как Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Неравенство (13) на интервале Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияравносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Уравнение Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияимеет корни Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решениягде Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения а решениями неравенства (14) являются все числа из интервалов Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения(см. рис. 24.5).

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решениями неравенства (12) являются те и только те числа из интервалов Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения которые принадлежат интервалу Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №288.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Неравенство (15) имеет смысл в том случае, если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Пусть Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения — область определения неравенства (15), тогда множество Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения — это объединение интервалов Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения(см. рис. 24.6).

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Используя формулу Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения запишем неравенство (15) в виде

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Неравенство (16) на множестве Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Множество всех решений неравенства (17) — интервал (1,5), а множество всех решений неравенства (15) — пересечение этого интервала и множества Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (см. рис. 24.6).

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №289.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения определяются условиями Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения,Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Полагая Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и переходя к логарифмам по основанию 2, запишем неравенство (18) в виде

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Неравенство (19) равносильно каждому из следующих неравенств :

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решив неравенство (20) методом интервалов, получим

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения откуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияоткуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ.Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №290.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Неравенство (21) имеет смысл, если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Положим Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и воспользуемся формулой Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Тогда неравенство (21) примет вид

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Неравенство (22) равносильно каждому из следующих неравенств :

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решив неравенство (23) методом интервалов, получим Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Таким образом, задача сводится к решению неравенств Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №291.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Область определения неравенства (24) — это множество Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения чисел, удовлетворяющих условиям

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

На множестве Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения неравенство (24) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Так как Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияв силу условий (25), то Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияи поэтому неравенство (26) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Неравенство (27) равносильно каждой из следующих систем неравенств :

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Множество решений неравенства (28) — интервал Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияНеравенство (29) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №292.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Функция Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияопределена при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и убывает, а неравенство Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения является верным тогда и только тогда, когдаЛогарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения (см. рис. 24.2).

Следовательно, неравенство (30) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Функция Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияявляется возрастающей (см. рис. 24.1), а ее значения принадлежат интервалу Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияв том и только в том случае, когда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Поэтому неравенство (31) равносильно неравенству

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Двойное неравенство (32) можно записать в виде следующей системы рациональных неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

которая равносильна системе

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда находим, что Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Замечание. При решении неравенства (30) многие абитуриенты допустили ошибку: вместо неравенства (31) записывали неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

затем получали неравенство (33) и, решив его с учетом ОДЗ неравенства (34), приходили к выводу, что множество решений неравенства (30) — объединение промежутков Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №293.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Область допустимых значений неравенства (35) найдем из неравенства

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

равносильного каждому из следующих неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Рассмотрим два случая: Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

1) Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решениято левая часть неравенства (35) определена и принимает неотрицательные значения, а правая часть отрицательна. Поэтому значения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения являются решениями неравенства (35).

2) Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то неравенство (35) равносильно каждому из следующих неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пусть Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения тогда неравенство (36) примет вид

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решенияили Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Решив неравенство Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения на множестве Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения получим

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №294.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

1) Пусть Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения тогда неравенство (37) равносильно каждому из следующих неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда, учитывая условие Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, получаем Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

2) Аналогично, при Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения неравенство (37) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Неравенство (38) равносильно системе неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решив эту систему с учетом условия Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения, получим Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения откуда

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Пример №295.

Решить неравенство

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Решение:

Так как Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то допустимые значения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения определяются условием

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Воспользуемся равенством Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения тогда неравенство (39) можно заменить (при условии (40)) каждым из следующих неравенств:

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Левая часть неравенства (41) неотрицательна, поэтому все значения Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения такие, что Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения являются решениями неравен-ства (39).

Пусть Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения Рассмотрим два случая: Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и неравенство (41) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда, учитывая, что Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения получаем Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Если Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения то Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения и неравенство (41) равносильно каждому из неравенств

Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

откуда Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Ответ. Логарифмические неравенства с постоянными  основаниями с примерами решения

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Иррациональные неравенства с примерами решения
Показательные неравенства с примерами решения
Логарифмические неравенства с переменными основаниями с примерами решения
Тригонометрические неравенства с примерами решения