Логарифмические уравнения примеры с решением

Логарифмические уравнения

Справочные сведения

1.Логарифмическая функция Логарифмические уравнения примеры с решением где Логарифмические уравнения примеры с решениемопределена при Логарифмические уравнения примеры с решением множество ее значений есть Логарифмические уравнения примеры с решением.

2.Показательная и логарифмическая функция являются взаимно обратными. Это означает, что

Логарифмические уравнения примеры с решением

3.Основные свойства логарифмов выражают следующие формулы, справедливые при Логарифмические уравнения примеры с решением

Логарифмические уравнения примеры с решением


Замечание, а) Левые и правые части первых двух равенств определены на разных множествах: в правых частях этих равенств Логарифмические уравнения примеры с решением и Логарифмические уравнения примеры с решением могут принимать только положительные значения, а левые части определены при любых значениях Логарифмические уравнения примеры с решением иЛогарифмические уравнения примеры с решением одного знака, т. е. при Логарифмические уравнения примеры с решением а также при Логарифмические уравнения примеры с решением

б) При решении логарифмических уравнений часто используется формула

Логарифмические уравнения примеры с решением

4.При решении логарифмических уравнений применяют следующие преобразования:

а) замену функции Логарифмические уравнения примеры с решением на функциюЛогарифмические уравнения примеры с решением

б) замену функции Логарифмические уравнения примеры с решением на функцию Логарифмические уравнения примеры с решением

Эти преобразования, основанные на свойствах логарифмов, являются допустимыми.

Обратные замены могут привести к потере корней исходного уравнения из-за возможного сужения ОДЗ уравнения. Чтобы избежать потери корней, следует заменять функции Логарифмические уравнения примеры с решением

и Логарифмические уравнения примеры с решением на функции Логарифмические уравнения примеры с решением и Логарифмические уравнения примеры с решениемсоответственно. Такие преобразования являются допустимыми. Приведем еще формулу

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

применяемую при решении логарифмических уравнений, и обратим внимание на то, что отбрасывание знака модуля в правой части равенства (1) — грубая ошибка, которую, к сожалению, часто допускают абитуриенты.

5. Сформулируем утверждения, относящиеся к решению логарифмических уравнений.

а) Простейшее логарифмическое уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением

имеет единственный корень Логарифмические уравнения примеры с решением при любом Логарифмические уравнения примеры с решением

б) Потенцирование, т. е. переход от уравнения

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

к уравнению

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

является допустимым преобразованием, а уравнение (3) — следствием уравнения (2).

Обратный переход (логарифмирование), т. е. переход от уравнения (3) к уравнению (2), может привести к потере корней.

Уравнения (2) и (3) равносильны, если хотя бы одна из функций Логарифмические уравнения примеры с решением, Логарифмические уравнения примеры с решением принимает только положительные значения.

Примеры с решениями

Пример №94.

Решить уравнение Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Потенцируя, получаем уравнение Логарифмические уравнения примеры с решениемявляющееся следствием исходного и имеющее корни Логарифмические уравнения примеры с решениемПроверка показывает, что Логарифмические уравнения примеры с решением не удовлетворяет уравнению ( Логарифмические уравнения примеры с решением не входит в ОДЗ уравнения), а число Логарифмические уравнения примеры с решением — корень исходного уравнения.

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №95.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Заменив в правой части уравнения (4) сумму логарифмов на логарифм произведения, получим уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

которое является следствием уравнения (4). При этом преобразовании посторонние корни могут появиться благодаря расширению ОДЗ уравнения.

Потенцируя, получаем уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

являющееся следствием уравнений (4) и (5). Уравнение (6) можно заменить равносильным уравнением Логарифмические уравнения примеры с решением которое имеет корни Логарифмические уравнения примеры с решением

Число —1 не содержится в ОДЗ уравнения (4), а число 6 входит в ОДЗ этого уравнения и является его корнем.

Ответ.Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №96.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Заметим, что ОДЗ уравнения (7) — множество отрицательных чисел. Пусть Логарифмические уравнения примеры с решениемтогда Логарифмические уравнения примеры с решением Используя формулу

Логарифмические уравнения примеры с решением

запишем уравнение (7) в виде

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Так как Логарифмические уравнения примеры с решением, то уравнение (8) равносильно уравнению

Логарифмические уравнения примеры с решением

откуда находим Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №97.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Так как правую часть уравнения (9) можно записать в виде Логарифмические уравнения примеры с решением где Логарифмические уравнения примеры с решениемто потенцирование приводит к уравнению

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

равносильному уравнению (9).

Разделив обе части уравнения (10) на Логарифмические уравнения примеры с решением и обозначив Логарифмические уравнения примеры с решениемполучим уравнение Логарифмические уравнения примеры с решением или Логарифмические уравнения примеры с решениемимеющее корни Логарифмические уравнения примеры с решением Следовательно, уравнение (10) равносильно совокупности уравнений Логарифмические уравнения примеры с решением , откуда следует, что Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №98.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Пусть Логарифмические уравнения примеры с решением — множество чисел Логарифмические уравнения примеры с решением таких, что

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Тогда Логарифмические уравнения примеры с решением и уравнение (11) примет вид Логарифмические уравнения примеры с решением или Логарифмические уравнения примеры с решением Отсюда находим Логарифмические уравнения примеры с решением Если Логарифмические уравнения примеры с решением то Логарифмические уравнения примеры с решением Если Логарифмические уравнения примеры с решением то Логарифмические уравнения примеры с решением Найденные значения Логарифмические уравнения примеры с решением удовлетворяют условиям (12) и являются корнями уравнения (11).

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №99.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Переходя к логарифмам по основанию 3, получаем уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решениемравносильное уравнению (13).

Уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

полученное из уравнения (14) в результате потенцирования, является следствием уравнения (14).

При решении уравнения (15) нужно рассмотреть два возможных случая: Логарифмические уравнения примеры с решением

Если Логарифмические уравнения примеры с решением, то Логарифмические уравнения примеры с решением и уравнение (15) примет вид

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Умножая обе части уравнения (16) на Логарифмические уравнения примеры с решениемполучим уравнение Логарифмические уравнения примеры с решением являющееся следствием уравнения (16) и имеющее корни Логарифмические уравнения примеры с решением (не удовлетворяет условию Логарифмические уравнения примеры с решением и Логарифмические уравнения примеры с решением.

Аналогично, если Логарифмические уравнения примеры с решением, то уравнение (15) преобразуется к виду Логарифмические уравнения примеры с решением , откуда находим Логарифмические уравнения примеры с решениеми Логарифмические уравнения примеры с решением(оба корня меньше, чем Логарифмические уравнения примеры с решением). Проверка показывает, что числа Логарифмические уравнения примеры с решением и Логарифмические уравнения примеры с решением входят в ОДЗ уравнения (13) и являются его корнями.

Ответ.Логарифмические уравнения примеры с решением

Замечание. Многие абитуриенты при решении уравнения (13) допустили ошибку, отбросив знак модуля в левой части уравнения (14). Это привело к потере корней Логарифмические уравнения примеры с решением и Логарифмические уравнения примеры с решением.

Пример №100.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Заметим, что

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Равенство (18) является верным при всех х > 0, так как логарифмы по основанию 3 его левой и правой частей совпадают. Используя равенство (18), заменим уравнение (17) равносильным уравнением Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №101.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Используя тождество Логарифмические уравнения примеры с решением заменим уравнение (19) следующим равносильным уравнением:

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решениемУравнение (20) равносильно совокупности уравнений:

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Потенцируя, из (21) и (22) получаем уравнения

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Уравнение (23) имеет корень Логарифмические уравнения примеры с решениема уравнение (24) приводится к виду Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решениемЛогарифмические уравнения примеры с решениемКорнями исходного уравнения (19) являются те и только те из чисел Логарифмические уравнения примеры с решением которые входят в ОДЗ уравнения (19), т. е. удовлетворяют условию Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

При решении уравнений, содержащих функции вида Логарифмические уравнения примеры с решениемследует иметь в виду, что:

а) если Логарифмические уравнения примеры с решением то выражение Логарифмические уравнения примеры с решением не имеет смысла;

б) если Логарифмические уравнения примеры с решением то это выражение считается равным нулю при Логарифмические уравнения примеры с решением и не имеющим смысла при Логарифмические уравнения примеры с решением

в) при Логарифмические уравнения примеры с решением функция Логарифмические уравнения примеры с решением определяется формулой

Логарифмические уравнения примеры с решением

где Логарифмические уравнения примеры с решением — любое положительное число, не равное единице;

г) функция вида Логарифмические уравнения примеры с решением где Логарифмические уравнения примеры с решениемопределяется формулой

Логарифмические уравнения примеры с решением

где Логарифмические уравнения примеры с решением — любое положительное число, не равное единице.

Пример №102.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Данное уравнение имеет смысл, если Логарифмические уравнения примеры с решением и Логарифмические уравнения примеры с решением Переходя к логарифмам по основанию 5 и возведя обе его части в квадрат, получаем уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

являющееся следствием уравнения (25).

Уравнение (26) можно записать в виде Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением

Значение Логарифмические уравнения примеры с решениемследует отбросить, так как в этом случае левая часть равенства (25) неотрицательна. Итак, Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением Проверка показывает, что число Логарифмические уравнения примеры с решением — корень уравнения (25).

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №103.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Так как Логарифмические уравнения примеры с решением то уравнение (27) можно записать в виде Логарифмические уравнения примеры с решениемоткуда получаем уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

являющееся следствием уравнения (27). Из уравнения (28) находим Логарифмические уравнения примеры с решением При Логарифмические уравнения примеры с решением уравнение (27) теряет смысл, а число Логарифмические уравнения примеры с решением — корень уравнения (27).

Ответ.Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №104.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Допустимые значения Логарифмические уравнения примеры с решением определяются условиями

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Переходя к логарифмам по основанию Логарифмические уравнения примеры с решением, запишем уравнение (29) в виде

Логарифмические уравнения примеры с решением

или

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Из уравнения (31), являющегося следствием уравнения (29), находим Логарифмические уравнения примеры с решением Если Логарифмические уравнения примеры с решением то Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решениемЕсли Логарифмические уравнения примеры с решением то Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением

Условиям (30) удовлетворяет

только число Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №105.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Область допустимых значений уравнения (32) — множество Логарифмические уравнения примеры с решением точек Логарифмические уравнения примеры с решением таких, что Логарифмические уравнения примеры с решением откуда находим

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Применяя формулу Логарифмические уравнения примеры с решением и полагая Логарифмические уравнения примеры с решением получаем уравнение Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением Следовательно, на множестве Логарифмические уравнения примеры с решением уравнение (32) равносильно совокупности уравнений Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением Первое из них не имеет корней, так как Логарифмические уравнения примеры с решением Второе уравнение равносильно на множестве Логарифмические уравнения примеры с решением уравнению Логарифмические уравнения примеры с решением или Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением Из чисел Логарифмические уравнения примеры с решением , Логарифмические уравнения примеры с решением только Логарифмические уравнения примеры с решением удовлетворяет условиям (33) и является корнем уравнения (32).

Ответ.Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №106.

Решить уравнение Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получим равносильное уравнение Логарифмические уравнения примеры с решением Полагая Логарифмические уравнения примеры с решением запишем это уравнение в виде Логарифмические уравнения примеры с решением откуда Логарифмические уравнения примеры с решением Решив уравнения Логарифмические уравнения примеры с решениемнайдем Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Пример №106.

Решить уравнение

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Решение:

Уравнение (34) равносильно каждому из следующих уравнений:

Логарифмические уравнения примеры с решением Логарифмические уравнения примеры с решением

Логарифмируя уравнение (35) по основанию 5, получаем

Логарифмические уравнения примеры с решением

или

Логарифмические уравнения примеры с решением

Если Логарифмические уравнения примеры с решениемто Логарифмические уравнения примеры с решениема если Логарифмические уравнения примеры с решениемто Логарифмические уравнения примеры с решением

Ответ. Логарифмические уравнения примеры с решением

Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:

Решение задач по математике

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Иррациональные уравнения примеры с решением
Показательные уравнения примеры с решением
Простейшие тригонометрические уравнения примеры с решением
Решение уравнений с помощью введения вспомогательного угла, методом замены неизвестного и разложения на множители, с помощью формул понижения степени примеры с решением