Для связи в whatsapp +905441085890

Математическая обработка результатов измерений

Математическая обработка и формы представления результатов измерений

Анализ математической обработки результатов измерений позволяет выделить следующие типовые задачи:

  • обработка результатов прямых многократных измерений одной и той же физической величины (серии измерений);
  • расчет результатов косвенных измерений физической величины;
  • обработка результатов измерений массива номинально одинаковых величин;
  • обработка результатов измерений разных величин или изменяющейся физической величины.

Для повышения достоверности и представительности результатов достаточно часто прибегают к многократным повторениям операции измерений одной и той же физической величины. При этом каждый единичный результат называют наблюдением при измерении, а результат измерений получают как интегральную оценку всего массива наблюдений. Поэтому в метрологии под математической обработкой результатов измерений традиционно понимают обработку результатов многократных прямых или косвенных измерений одной и той же физической величины.

Математическая обработка включает два принципиально разных направления: детерминированную обработку результатов измерений и статистическую обработку. Детерминированная математическая обработка результатов измерений в обязательном порядке применяется при получении результатов косвенных измерений. Например, для определения плотности некоторого вещества измеряют массу и объем одного и того же образца, в линейно-угловых измерениях часто рассчитывают угол по результатам измерений длин.

Статистическая обработка результатов прямых измерений

Статистическая обработка результатов измерений рассмотрена во многих литературных источниках. Корректное выполнение статистической обработки «исправленных» результатов измерений заключается в строгом соблюдении требований действующей метрологической нормативной документации (ГОСТ 8.207-76, МИ 1317-86 и др.).

Подготовка массива результатов измерений к статистической обработке заключается в исправлении результатов измерений. Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляющих, задача минимум — в исключении переменных систематических составляющих. Следует признать, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться не-выявлеш1ые систематические составляющие, а также всегда остаются неиск’люченные остатки систематических погрешностей.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправленных результатов прямых равнорассеянных измерений одной и той же величины.

  • Расчет среднего арифметического значения (получение точечной оценки результата измерения):
  • Расчет отклонений результатов наблюдений от среднего арифметического:
  • Расчет оценки СКО результатов наблюдений:
  • Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и теоретического распределений по критериям согласия.

При для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев Пирсона или Мизеса-Смирнова . При для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительным является составной критерий (принятое условное обозначение ).

Проверки по критериям согласия проводят при уровнях значимости от 10% до 2%. Принятые значения уровней значимости приводят в описании методики выполнения измерений или обработки результатов измерений.

При проверку принадлежности распределения к нормальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответствующей количественной оценке.

  • Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

При нормальном распределении погрешностей можно применять упрощенную процедуру отбраковывания экстремальных отклонений, например, по критерию :

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что проверяемый результат содержит грубую погрешность и должен исключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один результат с грубой погрешностью обработка повторяется с п. 1.

  • Расчет оценки среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения):
  • Расчет значения границы погрешности результата измерения (по модулю):

где — коэффициент Стьюдента, зависящий от числа результатов наблюдений и принятой доверительной вероятности — доверительная вероятность.

Обычно принимают доверительную вероятность или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи — те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и безопасностью жизни людей, с возможными значительными экономическими потерями и т.д.

  • Запись результата измерения в установленной форме:

где — точечная оценка результата измерений, рассчитанная как среднее арифметическое значение для всей серии наблюдений.

В случае наличия значимых неисключенных систематических составляющих погрешности значения границ погрешности результата измерения определяют в соответствии с требованиями ГОСТ 8.207- 76.

Статистическая обработка результатов косвенных измерений

Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений можно представить следующим образом:

  • Статистическая обработка результатов прямых измерений и нахождение и .
  • Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки результата косвенных измерений)
  • Определение оценки каждой частной погрешности с учетом ее весового коэффициента

где

  • Определение оценки погрешности (среднего квадратического отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратического отклонения (оценка погрешности косвенного измерения) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции (определяют традиционными статистическими расчетами)

При практическом отсутствии корреляции между величинами, получаемыми в результате прямых измерений

  • Определение значения коэффициента Стыодента в зависимости от выбранной доверительной вероятности и запись результата косвенного измерения в установленной форме

Результаты прямых и косвенных измерений должны отвечать требованиям обеспечения единства измерений, т.е. в описании результата следует использовать узаконенные единицы физических величин и указывать оценки погрешностей. Информацию о единицах физических величин можно найти в нормативной документации, специальной и справочной литературе.

Стандартное определение единства измерений требует, чтобы погрешности были известны с заданной вероятностью, из чего следует:

  • в описание результата входят только стохастически представляемые погрешности, значит, систематические составляющие по возможности должны быть исключены;

• неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения могут входить в описание результата измерений как рандомизированные величины, значения которых соизмеримы со случайной составляющей погрешности измерения;

  • если неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения существенно меньше случайной составляющей, ими пренебрегают, но возможна (хотя и нежелательна) обратная ситуация, когда собственно случайная составляющая оказывается пренебрежимо малой по сравнению с неисключенной систематической составляющей.

Формы представления результатов измерений

Форма представления результата измерения обычно предполагает наличие:

  • точечной оценки результата измерения;
  • характеристики погрешности результата измерения (или ее статистической оценки);

-указания условий измерений, для которых действительны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указываются непосредственно или путем ссылки на документ, удостоверяющий приведенные характеристики погрешностей.

В качестве точечной оценки результата измерения при измерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии.

Характеристики погрешности измерений можно указывать в единицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).

При указании границы интервала погрешности измерений рекомендуемое значение вероятности .

Требования к оформлению результата измерений:

  • наименьшие разряды должны быть одинаковы у точечной оценки результата и у характеристик погрешностей;
  • характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражают числом, содержащим не более двух значащих цифр, при этом для статистических оценок цифра второго разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;
  • допускается характеристики погрешностей (или их статистические оценки) выражать числом, содержащим одну значащую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказываемый младший) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда равной или больше бив меньшую сторону при цифре меньше 5.

Пример простейшей формы представления результатов измерений:



Эта лекция взята со страницы лекций по нормированию точности:

Нормирование точности: курс лекций

Возможно эти страницы вам помогут:

Неопределенность измерений и ее отражение в описании результатов
Выбор методики выполнения измерений
Шлицевые соединения
Взаимозаменяемость, методы средства контроля зубчатых колес и передач