Математические модели в менеджменте - Классификация экономико-математических моделей

Оглавление:

Математические модели в экономике. Широкое использование математических моделей является важным направлением совершенствования экономического анализа. Конкретизация данных или их представление в виде математической модели помогает выбрать наименее трудоемкий способ принятия решения, повышает эффективность анализа.

Все экономические задачи, решаемые линейным программированием, характеризуются альтернативными решениями и определенными ограничениями. Решение такой задачи означает выбор наилучшего, оптимального варианта среди всех возможных (альтернативных) вариантов. Важность и ценность применения метода линейного программирования в экономике заключается в том, что оптимальный вариант выбирается из достаточно большого числа альтернатив.

Наиболее важными моментами при постановке и решении экономических задач в форме математической модели являются:

Адекватность экономико-математической модели реальности;
Анализ закономерностей в соответствии с процессом;
Определите методы, с помощью которых можно решить проблему;
Анализ полученных результатов или обобщение результатов.

Экономический анализ в первую очередь относится к факторному анализу.

Пусть y=f(xi ) — функция, характеризующая изменение индикатора или процесса; x1 , x2 ,…,xn — факторы, от которых зависит функция y=f(xi ). Приводится функциональная детерминированная связь индекса y с набором факторов. Ожидается, что индекс y будет изменяться в течение периода анализа. Определите, какая доля числового приращения функции y=f(x1 , x2 ,…,xn ) обусловлена приращением каждого фактора.

В экономический анализ можно отнести — анализ влияния производительности труда и численности работников на объем производимой продукции; анализ влияния объема прибыли основного производственного фонда и стандартизированных оборотных средств на уровень рентабельности; анализ влияния заемных средств на маневренность и независимость предприятия и др.

В экономическом анализе помимо задач, сводящихся к их разложению на составляющие, существует группа задач, в которой необходимо функционально связать набор экономических характеристик, т.е. построить функцию, содержащую основное качество всех рассматриваемых экономических показателей.

В этом случае ставится обратная проблема, называемая проблемой обратного факторного анализа.

Пусть будет набор индикаторов x1, x2,… xn , которые характеризуют экономический процесс F. Каждый из индикаторов характеризует этот процесс. Пусть функция f(xi ) процесса F содержит основные характеристики всех индикаторов x1 , x2 ,… xn должен быть построен

Основной целью экономического анализа является определение критерия, по которому сравниваются различные возможные решения.

Математические модели в управлении. Принятие решений играет важную роль во всех областях человеческой деятельности. Чтобы решить проблему, необходимо выполнить два условия:

Наличие выбора;
Выбор опции по определенному принципу.

Существует два хорошо известных принципа принятия решений: волевой и критический.

Добровольный выбор, который используется чаще всего, используется как единственно возможный выбор при отсутствии формализованных моделей.

Выбор критерия заключается в принятии критерия и сравнении возможных вариантов по этому критерию, вариант, для которого предполагаемый критерий принимает наилучшее решение, называется оптимальным, а задача принятия наилучшего решения называется задачей оптимизации.

Критерий оптимизации называется объективной функцией.

Любая задача, решение которой сводится к нахождению максимальной или минимальной из объективной функции, называется экстремальной задачей.

Проблемы управления заключаются в нахождении условного экстремума объективной функции при известных ограничениях, налагаемых на ее переменные.

В качестве объективной функции при решении различных задач оптимизации берутся количество или себестоимость продукции, себестоимость производства, величина прибыли и так далее. Ограничения обычно связаны с человеческими, материальными и денежными ресурсами.

Задачи оптимизации управления, которые отличаются по содержанию и реализуются с помощью стандартных программных продуктов, соответствуют определенному классу экономико-математических моделей.

Рассмотрим классификацию некоторых основных оптимизационных задач, выполняемых управлением производством.

Классификация экономико-математических моделей

Существует значительное разнообразие типов, видов экономико-математических моделей, необходимых для использования в управлении экономическими объектами и процессами. Экономические и математические модели делятся на макроэкономические и микроэкономические, в зависимости от уровня моделируемого объекта управления, динамические, которые характеризуют изменения объекта управления во времени, и статические, которые описывают соотношение между различными параметрами, показателями объекта именно в это время. Дискретные модели представляют состояние объекта управления в определенные фиксированные моменты времени. Имитационные модели — это экономико-математические модели для моделирования управляемых экономических объектов и процессов с помощью информационных и компьютерных технологий. В зависимости от типа математического аппарата, используемого в моделях, существуют экономико-статистические модели, линейные и нелинейные модели программирования, матричные модели, сетевые модели.

Факторные модели. В группу экономико-математических факторных моделей входят модели, содержащие, с одной стороны, экономические факторы, от которых зависит состояние контролируемого экономического объекта, а с другой — параметры состояния объекта в зависимости от этих факторов. Если факторы известны, то модель позволяет определить необходимые параметры. Факторные модели обычно обеспечиваются математически простыми линейными или статическими функциями, характеризующими взаимосвязь между факторами и параметрами экономического объекта, которые от них зависят.

Балансовые модели. Балансовые модели, как статистические, так и динамические, широко используются в экономическом и математическом моделировании. Создание этих моделей основано на методе баланса — методе взаимного сопоставления материальных, трудовых и финансовых ресурсов и их потребностей. Описывая экономическую систему в целом, ее модель равновесия понимается как система уравнений, каждое из которых выражает потребность в равновесии между количеством продукции, произведенной отдельными экономическими объектами, и совокупным спросом на эту продукцию. Согласно этому подходу, экономическая система состоит из экономических объектов, каждый из которых производит определенный продукт. Если вместо термина «продукт» ввести термин «ресурс», то под балансовой моделью следует понимать систему уравнений, которая удовлетворяет требованиям между конкретным ресурсом и его использованием.

Основные виды моделей бухгалтерского учета:

Материальный, трудовой и финансовый баланс для экономики в целом и отдельных ее секторов;
Межотраслевые балансы;
Матричные балансы компаний и фирм.

Модели оптимизации. Большой класс экономико-математических моделей — это оптимизационные модели, которые позволяют выбрать оптимальный вариант из всех решений. Математически оптимальность — это достижение экстремумального критерия оптимальности, также называемого объективной функцией. Модели оптимизации чаще всего используются в задачах поиска оптимального способа использования экономических ресурсов, что позволяет достичь максимального целевого эффекта. На основе решения задачи об оптимальной распиловке фанерных плит, обеспечивающей наиболее полное использование материала, было сформировано математическое программирование. За решение этой задачи известный российский математик и экономист академик Л.В. Канторович был удостоен Нобелевской премии по экономическим наукам.

Линейное программирование как инструмент математического моделирования экономики

Исследование свойств общей системы линейных неравенств проводится с XIX века, а первая оптимизационная задача с линейной объективной функцией и линейными ограничениями была сформулирована в Z0-е годы XX века. Одним из первых зарубежных ученых, заложивших основы линейного программирования, является Джон фон Нейман, широко известный математик и физик, доказавший основную теорему о матричных играх. Среди местных ученых — нобелевский лауреат Л.В. Канторович, Н.Н. Моисеев, Э.Г. Гольштейн, Д.Б. Юдин и многие другие внесли большой вклад в теорию линейной оптимизации.

Линейное программирование традиционно рассматривается как подполе исследования операций, изучающее методы нахождения условных экстремальных значений функций со многими переменными.

В классическом математическом анализе изучается общая формулировка проблемы определения условного экстремума, но в связи с развитием промышленного производства, транспорта, агропромышленного комплекса и банковского сектора традиционные результаты математического анализа оказались недостаточными. Потребности практики и развития компьютерных технологий привели к необходимости определения оптимальных решений при анализе сложных экономических систем. Основным инструментом решения таких задач является математическое моделирование, то есть формализованное описание исследуемого процесса и его исследование с помощью математического аппарата.

Искусство математического моделирования заключается в том, чтобы учесть как можно больше факторов, влияющих на поведение объекта, используя максимально простые взаимосвязи. По этой причине процесс моделирования часто является многоступенчатым. Сначала строится относительно простая модель, затем исследуется, какие из интегрирующих свойств объекта не захватываются формальной схемой, после чего обеспечивается большая реалистичность за счет усложнения модели. В то же время во многих случаях первым приближением к реальности является модель, в которой все отношения между переменными, характеризующими состояние объекта, являются линейными. Практика показывает, что значительное число экономических процессов описывается линейными моделями, и, следовательно, линейное программирование, как аппарат, позволяющий находить условный экстремум на заданном набором линейных уравнений и неравенств наборе, играет важную роль в анализе этих процессов.

Наиболее характерным для динамического программирования является класс проблем, в котором рассматривается оптимальное управление запасами. Это связано с тем, что в задачах управления инвентаризацией процесс естественным образом разворачивается во времени, а управление заключается только в принятии решения за определенный промежуток времени, с учетом состояния, в которое система пришла в предыдущие периоды времени. Более того, эти проблемы, как правило, связаны с дискретной природой переменных и поэтому, как правило, трудно решаются другими методами. Наконец, очень важным фактом является то, что форма зависимостей задачи для каждого временного периода достаточно проста (часто линейная), что облегчает решение специальной задачи оптимизации на каждом этапе, в то время как одновременное решение общей задачи с большим количеством переменных (для многих временных периодов и кусочно-линейной или нелинейной объективной функции для всего процесса) достаточно сложное.

Проблема управления запасами является одним из важнейших направлений практического применения экономико-математических методов, в том числе и методов математического программирования. Мы ограничимся анализом некоторых простейших задач, чтобы проиллюстрировать их решение методами динамического программирования.

Такие понятия используются при формулировании целей управления запасами.

Товарно-материальные запасы — это любые денежные или физические объекты, которые периодически пополняются (производятся, доставляются и т.д.) и хранятся в течение определенного периода времени для последующего использования. Объем запасов в любой момент времени представляет собой начальный запас плюс пополнение и минус затраты за период от начальной точки до этой точки.

Управление запасами, как правило, связано с влиянием на соотношение между двумя основными факторами пополнения запасов и потребления. Целью управления является оптимизация определенного критерия, который зависит от стоимости запасов, стоимости поставок, затрат, связанных с пополнением запасов, штрафов и так далее.

В этой общей формулировке такие проблемы могут иметь различные практические применения. Например, под инвентаризацией можно понимать продукцию фирмы, которая непрерывно производится (пополнение) и доставляется потребителям определенными дискретными партиями (потребление). В этом случае предполагается, что спрос на продукцию предопределен (детерминированный спрос) или подвержен случайным колебаниям (стохастическая задача). Управление запасами заключается в определении объема производства, необходимого для удовлетворения определенного спроса. Цель состоит в том, чтобы свести к минимуму общие затраты на хранение и пополнение запасов. Запасы можно понимать как запасы сырья или других материалов, которые поставляются дискретными партиями (пополнение) и должны обеспечивать непрерывное потребление в производственном процессе (потребление). Критерием оптимальности могут быть общая стоимость товарно-материальных запасов, замораживание оборотных средств и предложение товарно-материальных запасов.

Запасами могут быть товары, которые поставляются в магазин определенными партиями и предназначены для постоянного, но случайного покупательского спроса. Критерием оптимальности является совокупная стоимость предложения, запасы и изменение ритма производства в связи с колебаниями спроса.

Запасами также могут быть сезонные товары, хранящиеся на складе с ограниченной пропускной способностью. Товары можно покупать и продавать в различных количествах по ценам, которые меняются с течением времени. Проблема заключается в определении политики покупки и продажи, которая максимизирует общую прибыль и является примером проблемы с акциями.

Количество таких примеров можно было бы умножить. Однако в данном разделе мы рассмотрим лишь некоторые из простейших динамических моделей проблем управления запасами.

Если входные данные в задаче однозначно определены, то задачи называются детерминистическими; если хотя бы часть данных случайна и определены распределения вероятностей, то соответствующие задачи называются стохастическими. В этой главе мы ограничимся примерами проблем детерминистического инвентарного контроля.

Рассмотрим модель проблемы управления запасами для данного потребления. Управление этими проблемами сводится к пополнению.

Классификация математических моделей

Математические модели могут быть детерминированными и стохастическими.

Определенные модели — это модели, в которых устанавливается соответствие между переменными, описывающими объект или явление.

Этот подход основан на знании механизма функционирования объекта. Часто моделируемый объект сложен и расшифровка его механизма может занять очень много времени. В данном случае, мы действуем следующим образом: Мы проводим эксперименты на исходном объекте, обрабатываем полученные результаты и, не вдаваясь в механизм и теорию моделируемого объекта, используем методы математической статистики и теории вероятностей для установления связей между переменными, описывающими объект. В этом случае получается стохастическая модель. В стохастической модели отношения между переменными случайны, иногда фундаментальны. Влияние большого количества факторов и их комбинация приводит к случайному набору переменных, описывающих объект или явление. В соответствии с природой режимов модель является статистической и динамической.

Статистическая модель включает описание зависимостей между основными переменными моделируемого объекта в стационарном режиме без учета изменений параметров во времени.

Динамическая модель описывает отношения между основными переменными моделируемого объекта при переходе из одной моды в другую.

Модели могут быть дискретными, непрерывными и смешанными. В непрерывных моделях переменные берут значения из интервала, а в дискретных моделях переменные берут изолированные значения.

Линейные модели — все функции и отношения, описывающие модель, линейно зависят от переменных и иначе нелинейны.

Требования к моделям:

универсальность характеризует полноту представления моделью изучаемых свойств реального объекта.
адекватность — способность воспроизводить необходимые характеристики объекта с ошибкой, не превышающей указанные.
точность — оценивается степенью согласия между значениями свойств реальных объектов и значениями этих свойств, полученными из моделей.
экономическая эффективность — определяется стоимостью компьютерных ресурсов памяти и временем, затрачиваемым на ее реализацию и эксплуатацию.

Наиболее важные этапы математического моделирования:

Создание модели. На этом этапе определяется «нематематический» объект — природный феномен, проект, экономический план, производственный процесс и так далее. В этом случае, как правило, сложно однозначно описать ситуацию. Во-первых, мы определяем основные черты явления и связи между ними на качественном уровне. Затем на языке математики формулируются найденные качественные зависимости, то есть строится математическая модель. Это самый сложный этап моделирования.
Решение математической задачи, к которой ведет модель. На данном этапе большое внимание уделяется разработке алгоритмов и численных методов решения задачи на компьютере, с помощью которых результат может быть найден с необходимой точностью и в приемлемые сроки.
Интерпретация вытекающих из математической модели последствий. Последствия, вытекающие из модели на языке математики, интерпретируются на языке, принятом в данной области.
Проверка адекватности модели. Этот этап определяет, соответствуют ли экспериментальные результаты теоретическим последствиям модели с определенной точностью.
Модификация модели. На этом этапе модель либо сложна для лучшего соответствия реальности, либо упрощена для достижения практически приемлемого решения.

Классификация моделей.

Модели могут быть классифицированы по различным критериям. Например, модели можно разделить на функциональные и структурные в зависимости от характера решаемых задач. В первом случае все значения, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. В то же время некоторые из них рассматриваются как независимые переменные, а другие — как функции этих переменных. Как правило, математическая модель представляет собой систему различных типов уравнений (дифференциальные уравнения, алгебраические уравнения и т.д.), устанавливающих количественные связи между рассматриваемыми переменными. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти отношения не поддаются количественной оценке. Для создания таких моделей удобно использовать теорию графов. Граф — это математический объект, представляющий собой совокупность точек (вершин) на плоскости или в пространстве, некоторые из которых соединены прямыми (рёбрами).

Модели можно разделить на детерминистические и вероятностно-статистические в зависимости от типа исходных данных и результатов прогнозирования. Модели первого типа дают однозначные, однозначные прогнозы. Модели второго типа основаны на статистической информации, а полученные с их помощью прогнозы носят вероятностный характер.

Методы исследования математических моделей

Все методы математического моделирования можно разделить на четыре класса:

аналитический (априори);
симуляция (априори апостериори) моделей;
эмпирико-статистические (апостериорные) модели;
модели, в которых в той или иной форме представлены идеи искусственного интеллекта (самоорганизации, эволюции, нейросетевых конструкций и т.д.).

Аналитические модели являются одним из классов математического моделирования, широко используемых в экологии. При построении таких моделей исследователь сознательно избегает подробного описания экосистемы, оставляя только то, что он считает наиболее важными компонентами и связи между ними, и использует достаточно мало правдоподобных гипотез о природе взаимодействия между компонентами и структурой экосистемы. Аналитические модели служат главным образом для идентификации, математического описания, анализа и объяснения свойств или наблюдаемых явлений, которые происходят в как можно более широком диапазоне экосистем. Например, известная модель конкуренции Лотка-Вольтерра позволяет уточнить условия взаимного сосуществования видов в разных сообществах.

Имитационные модели являются одним из основных классов математического моделирования. Целью построения имитационных моделей является приближение модели к конкретному (обычно уникальному) экологическому объекту и достижение максимальной точности в ее описании. Имитационные модели претендуют на выполнение как объяснительных, так и прогностических функций, хотя в больших и сложных симуляциях выполнение первой из них проблематично (в успешных симуляционных моделях можно говорить только о косвенном подтверждении согласованности их исходных гипотез). Имитационные модели реализуются на компьютерах по блочному принципу, что позволяет разделить общую систему на ряд подсистем, связанных небольшим количеством обобщенных взаимодействий, позволяя самостоятельно моделировать с помощью собственного математического аппарата (в частности, для подсистем, механизм функционирования которых неизвестен, могут быть построены регрессионные модели или самоорганизующиеся модели). Такой подход также позволяет относительно легко создавать новые имитационные модели путем замены отдельных блоков. Если имитационные модели реализуются без блочного принципа, то можно говорить о квазисимуляционном моделировании. Основная цель построения этих моделей заключается в следующем: Порядок или агрегирование информации; поиск, количественная и содержательная интерпретация причинно-следственных связей между системными переменными; оценка надежности и производительности различных гипотез о взаимном влиянии наблюдаемых явлений и влияющих факторов; идентификация параметров расчетных уравнений для различных целей. Часто эмпирико-статистические модели являются «сырьем» и обоснованием подходов к построению моделей других типов (особенно имитационных моделей). Важным методологическим вопросом является определение природы взаимосвязи между факторами и показателями результатов: функциональными или стохастическими, прямыми или обратными, линейными или криволинейными и т.д. Здесь используются теоретические и статистические критерии, практический опыт, а также методы сравнения параллельных и динамических рядов, аналитической группировки исходной информации, графические методы и др. Детерминистический анализ — это методика изучения влияния факторов, отношение которых к результирующему показателю носит явно функциональный характер, то есть когда показатель представлен в виде продукта, коэффициента или алгебраической суммы исходных факторов. Стохастический анализ представляет собой широкий класс методов, основанных на вероятностных теоретических понятиях, теоремах, критериях и методах параметрической и непараметрической статистики. Искусственный интеллект (ИИ) обычно понимается как способность автоматических систем выполнять некоторые функции человеческого разума, такие как выбор и принятие оптимальных решений на основе предыдущего опыта и рационального анализа внешних воздействий. Речь идет прежде всего о системах, основанных на принципах обучения, самоорганизации и эволюции при минимальном участии человека, но включающих его в качестве учителя и партнера, гармоничного элемента систем человек-машина.

На странице курсовые работы по менеджменту вы найдете много готовых тем для курсовых по предмету «Менеджмент».

Здесь темы рефератов по менеджменту

Читайте дополнительные лекции: