Математика Древнего Египта с позиций математики XX в.

Оглавление:

Предмет: Философия

Тип работы: Реферат

У вас нет времени или вам не удаётся понять эту тему? Напишите мне в whatsapp, согласуем сроки и я вам помогу!

На странице рефераты по философии вы найдете много готовых тем для рефератов по предмету «Философия».

Дополнительные готовые рефераты на темы:

Задачей данного реферата, будет краткое обращение к истории математики. Мы узнаем о том, как и для чего она зарождалась в древнем Египте. Что представляла собой для древности и для человечества в целом.

Постараемся осознать основные проблемы философского понимания математики. Приблизимся к определению понятия математики и важности её изучения.

Также будет рассмотрена проблема математики современности и описаны направления её развития в XX веке.

Роль математики в древнем Египте

Наиболее древние письменные математические тексты, известные в настоящее время, сохранились примерно от начала второго тысячелетия до н.э.. К этому времени относится расцвет великих цивилизаций древнего Востока — Египта и Вавилона. Это были земледельческие государства. Площадь, пригодная для земледелия, была невелика, ее можно было увеличить только путем проведения оросительных каналов или осушения болот. Работы по проведению каналов и осушению болот, необходимость установления границ между полями потребовали создания сельских общин. Поэтому наряду с натуральным хозяйством этих общин появляется распределение, связанное со значительными общественными работами, а также с частыми войнами. Организация централизованного государства приводит к появлению централизованной религии, вокруг дворцов правителей и храмов возникают города, которые становятся центрами торговли.

Именно в таких государствах появляются математические задачи, к которым приводит необходимость расчетов при проведении каналов, строительстве плотин, складов для зерна, дворцов, храмов и военных укреплений, при межевании земель, распределении материалов и продуктов среди участников общественных работ или военных походов, при торговых сделках, вождении торговых или военных караванов и мореплавании.

Денежных расчётов, как и самих денег, в Египте не было. Египтяне писали на папирусе — бумаге, выделанной из стебля одноименного растения (от слова «папирус» произошли названия бумаги Papier, paper, paper на немецком, французском и английском языках), который сохраняется плохо, и поэтому в настоящее время знаний о математике Египта существенно меньше, чем о математике Вавилона. Вероятно, она была развита лучше, чем можно представить, исходя из дошедших до нас документов, что подтверждается тем, что греческие математики учились у египтян.

Египетская история делится на следующие временные периоды:

1) Раннее царство, правление фараона Менеса (Мине), около 3000 г. до н.э.;

2) Древнее царство, фараоны Хеопс (Хуфу) и Хефрен (Хафра) около 2700 г. до н.э.;

3) Среднее царство, около 2000 г. до н.э.;

4) Новое царство, фараон Тутмос I и Рамсес II, около 1800 г. до н.э.;

В эпоху Древнего царства египтяне писали при помощи иероглифов — рисуночного письма, в котором каждый рисунок изображал слово или слог. В эпоху Среднего царства иероглифическое письмо было заменено более простым — иератическим письмом, где от каждого иероглифа осталось несколько характерных штрихов, а иероглифы применялись только в особо торжественных случаях. И, наконец, в эпоху Нового царства возникает скорописное демотическое письмо.

Знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Самый большой, сохранившийся до наших дней древнеегипетский математический текст — это так называемый папирус Райнда (Ахмеса) размером 5,25 м Ч 33 см, содержащий 84 задачи. Названный по имени владельца, приобретшего папирус в 1858 г., он ныне хранится частично в лондонском Британском музее, частично в Нью-Йорке. Другой папирус примерно такой же длины, но гораздо более узкий (5,44 м Ч 8 см), приобретенный в конце XIX века русским востоковедом В.С. Голенищевым, принадлежит московскому Музею изобразительных искусств им. А.С. Пушкина. Этот свиток содержит 25 задач. Оба папируса переведены на современные языки и прокомментированы. Их относят к одному времени — эпохе Среднего царства. Египетская культура в ту пору достигла уже высокого материального и духовного расцвета.

Таким образом, основные сведения о древнеегипетской математике у нас относятся к одной эпохе, и мы не можем составить представление о развитии математики в данной цивилизации на протяжении ее истории.

Математика древнего Египта

Какой была математика древних египтян? Она кажется нам теперь довольно примитивной, ведь египтяне не пошли дальше арифметики дробей, уравнений первой степени и неполного квадратного уравнения. Дело, однако, в том, что и египетские дроби — это не дроби в нашем понимании, и уравнения — это совсем не наши уравнения, такого понятия тогда не было. Древний ученый шел непроторенными путями, и в круге тех понятий и проблем его ум работал не менее интенсивно, чем теперь ум математика над той или иной нерешенной современной задачей.

Математические знания египетского писца позволяли ему производить расчеты при строительных работах, сборе налогов, разделе имущества, измерении площадей полей и т.д. Основное внимание в египетских текстах сконцентрировано не на методах решения задач, а на самих вычислениях. И сами методы часто зависят от тех вычислительных трудностей, которые встают перед решающим задачу. Задачи в подавляющем большинстве еще совсем не абстрагированы и не обобщены.Они были сгруппированы по тематике. Задачи на припек можно объединить в один класс, задачи о емкости зернохранилищ и сосудов — в другой и т.д. При этом фактически определялась математическая суть данной группы, а значит единый метод решения, хотя он не был сформулирован общим образцом. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольника и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений, возведение в разные степени, арифметические прогрессии, решение уравнений первой и второй степени с одним неизвестным.

Полностью отсутствуют, какие бы то ни было, объяснения или доказательства. Искомый результат либо даётся прямо, либо приводится краткий алгоритм его вычисления.

Такой способ изложения, типичный для науки стран древнего Востока, наводит на мысль о том, что математика там развивалась путём индуктивных обобщений и догадок, не образующих никакой общей теории. Тем не менее, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте тех лет имела или по крайней мере начинала приобретать теоретический характер. Так, египетские математики умели извлекать корни и возводить в степень, решать уравнения, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией и даже владели зачатками алгебры: при решении уравнений специальный иероглиф «куча» обозначал неизвестное.

В области геометрии египтяне знали точные формулы для площади прямоугольника, треугольника и трапеции. Площадь произвольного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d вычислялась приближённо как ; эта грубая формула даёт приемлемую точность, если фигура близка к прямоугольнику. Площадь круга вычислялась, исходя из предположения = 3,1605 (погрешность менее 1 %).

Египтяне знали точные формулы для объёма параллелепипеда и различных цилиндрических тел, а также пирамиды и усечённой пирамиды.

О более раннем ходе развития математики в Египте сведений нет никаких. О более позднем, вплоть до эпохи эллинизма — тоже. После воцарения Птолемеев начинается чрезвычайно плодотворный синтез египетской и греческой культур.

Математика древнего Египта как этап зарождения науки

Как мы видели, в древнем Египте математика представляла собой совокупность знаний, еще не расчленившуюся на арифметику, алгебру, геометрию и выступающую, прежде всего, как собрание правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач. Проблемы, стоявшие перед египетскими писцами, были главным образом практические. Многие решения находили путем проб, ощупью, эмпирически, и не удивительно, что они оказывались иногда громоздкими и требовали преодоления больших трудностей, которые не встречались бы на другом пути (примером могут служить операции с дробями). Но наряду с этим еще в начале II тысячелетия до н.э. шла интенсивная работа творческой мысли, задачи обобщались и начинали принимать более абстрактный характер. При исследовании отдельных проблем вырабатываются приемы геометрических и арифметико-алгебраических преобразований, которые, как и проверка решений, уже предвещали дальнейший рост этих составных частей математической дедукции.Догматическая манера изложения и обучения не могла полностью сорвать эти первые ростки идей математического доказательства.

Географическая изоляция способствовала формированию ее самобытности и уникальности. Вряд ли ее, как и древнегреческую, можно назвать «детством человечества». Напротив, мощь и инаковость древнеегипетской цивилизации поражает и ставит вопрос о масштабах и логике преемственности в культурном развитии человечества. Ведь греки, обязанные своим «древнегреческим чудом» (как именовалась греческая цивилизация) знаниям, вывезенным из Древнего Египта и с Востока, не особенно распространялись об источниках и авторстве. Известно, что даже знаменитый Пифагор изучал священную математику — науку чисел или всемирных принципов — в храмах египетских жрецов. Он даже носил по-египетски пурпурную повязку на лбу.

По мнению египтолога И. Шмелева, «сегодня можно определенно сказать, что не греки были первооткрывателями фундаментальных законов, на которых держится связь миров. За тысячи лет до талантливых мужей Эллады жрецы Древнего Египта в совершенстве изучили и овладели секретами, которые мы заново открываем в наш стремительный век». Если иметь в виду утверждение, что наука началась тогда, когда начали мерить, то этот критерий приемлем и к науке древнеегипетской цивилизации.

Таким образом, мы видим, что вклад египетской математики в мировую сокровищницу бесценен. Существует философское мнение, утверждающее о развитии древнеегипетской математики, как об этапе зарождения науки в целом, и после изучения существующих источников и появлении представлении о том что же представляла математика того времени, становится сложным оспаривать данную теорию.

Философские проблемы математики

Философские проблемы математики обсуждаются уже в Древней Греции, когда Платон «помещает» числа, треугольники и т.п. математические объекты, как и идеи вообще, в особый мир. Элементы этого мира — вечны и неизменны, с одной стороны, а с другой — именно идеи обусловливают само существование вещей. Обсуждению подвергаются вопросы о том, где и как существуют числа, какова их природа, чем обусловлен всеобщий характер математического знания, когда в самых разных культурах, возникающих в значительной степени независимо одна от другой, люди складывают и умножают числа одинаково (техника счета различается, а результаты — одинаковы)? Трудности, которые обнаружили уже древние греки, хорошо моделирует «Диалог о сущности математики» венгерского математика Альфреда Реньи.

К числу философских проблем математики относится широкий круг проблем, достаточно разнородных. Обсуждается, как мы видели, прежде всего, вопрос о сущности и статусе математических объектов, где и как они существуют. «Отражают» ли эти объекты какие-то реалии внешнего мира, или эти объекты — чистые творения разума? Кронекер писал, что «целые числа создал господь Бог, а все остальное — творение человека». Существенно, что начиная с 19 века, споры о природе чисел и множеств не ограничиваются областью философии, а философские установки отдельных школ и направлений обоснования математики оказывают существенное влияние на решение специальных логико-математических вопросов.

Тесно связан с вопросом о статусе математических объектов и вопрос о математике как науке. Н. Бурбаки спрашивает — существует ли одна математика, или — много? Имеет место очень большой разброс мнений о том, что такое математика — от слов Канта о том, что только та область является наукой, которая использует математику, до слов Фейнмана о том, что математика — не наука: «Математика, с нашей точки зрения, не наука в том смысле, что она не относится к естественным наукам. Ведь мерило ее справедливости отнюдь не опыт. Кстати, не все то, что не наука, уж обязательно плохо. Любовь, например, тоже не наука. Словом, когда какую-то вещь называют не наукой, это не значит, что с нею что-то неладно: просто не наука она, и всё». Сюда же примыкают такие метафоры для описания математики и ее места среди других наук, как вопрос В.А. Успенского — математика и физика — сестры или — мать и дочь? Широко известны слова Гиббса о том, что математика — это не наука, а язык, с этими словами солидаризируются одни математики и активно не согласны другие. О причинах разногласий пишет, например, Р.Курант: «На вопрос, что такое математика?» невозможно дать обстоятельный ответ на основе одних лишь только философских обобщений, семантических определений или с помощью обтекаемого газетно-журнального многословия. Так же нельзя дать общее определение музыке или живописи: никто не может оценить эти виды искусства, не понимая, что такое ритм, гармония и строй в музыке или форма, цвет и композиция в живописи. Для понимания же сути математики еще в большей степени необходимо подлинное проникновение в составляющие ее элементы».

Чем обусловлен всепроникающий характер математического знания? Возникнув из простого счета и чертежей, математика распространилась в самые разные сферы природы и социальной жизни людей, без нее не могут обойтись не только механика и другие разделы физики, но и астрономия, экономика, электронно-счетные машины и многие другие области науки и жизни.

Основные направления обоснования математики XX века

Величие XX века в том, что он изменил, преобразовал почти все представления человечества об окружающем Мире. В этом процессе математика играла выдающуюся роль. XX век явился для математики периодом интенсивного развития, прорыва в новые области. В первой половине XX века были созданы новые теории строения материи, существенное развитие получила техника: авиация, электротехника, радиотехника и др. Появление новой техники было связано с созданием сложных математических моделей и выдвижением новых требований к математике.

Вопрос сущности и оснований математики обсуждался со времён Платона. Начиная с XX века, существующая на тот момент теория множеств (раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств; подход к описанию основ математики), сталкивается со значительными сложностями в виде возникающих парадоксов из-за поверхности абстракции множества.

Представители теоретико-множественной школы предпочитали прямой аксиоматический подход. Аксиоматизацию теории множеств впервые предпринял Эрнест Цермело в работе 1908 г. Причину парадоксов он видел в том, что Кантор не уточнил понятие множества. Поэтому, как полагал Цермело, ясные и явно сформулированные аксиомы могли бы прояснить, что следует понимать под множеством и какими свойствами оно должно обладать.

Однако, открытие парадоксов теории множеств и осознание того, что аналогичные парадоксы могут встретиться и в уже существующей классической математике, заставили математиков всерьез заняться проблемой непротиворечивости. Весьма насущным вдруг стал вопрос о том, какой смысл имеет в математике глагол «существовать», поднятый, в частности, в связи с вольным использованием аксиомы выбора. Все более широкое применение бесконечных множеств, при перестройке оснований математики и создании ее новых разделов, вновь оживило старые разногласия по поводу законности использования актуально бесконечных величин и множеств. Начавшееся в конце XIX в. движение за аксиоматизацию математики все эти кардинальные проблемы просто оставляло в стороне.

Еще до начала XX в. было провозглашено и даже разработано несколько радикально новых подходов к математике. Но поскольку они до времени оставались в тени, большинство математиков не восприняли их всерьез. Однако в первые десятилетия XX в. в битву за новые подходы к математике вступили гиганты.

Одно из направлений получило название «логистическая школа». Если не вдаваться в подробности, то основной тезис логицистов сводился к утверждению, что математика полностью может быть выведена из логики. Вначале XX в. большинство математиков видели в законах логики незыблемые, вечные истины. Но если законы логики истинны, рассуждали логицисты, то истинна и математика. А поскольку истина непротиворечива, продолжали они, то математика также должна быть непротиворечивой.

Как и обычно, когда речь идет о создании нового большого направления в науке, прежде чем логистика обрела строгую форму и привлекла широкое внимание, потребовались значительные усилия многих ученых. Мысль о том, что математика выводима из логики, восходит, по меньшей мере, к Лейбницу.

Заключение

Так что же такое математика? Вряд ли, если уж у великих математических умов не получилось, мы вряд ли сможем дать однозначный ответ. Однако, несмотря на сложность нахождения обоснования математики, всегда можно обратиться к истории.

Развитие математики началось вместе с тем, как человек стал использовать абстракции сколько-нибудь высокого уровня. Простая абстракция — числа; осмысление того, что два яблока и два апельсина, несмотря на все их различия, имеют что-то общее, а именно занимают обе руки одного человека — качественное достижение мышления человека.

Если посмотреть на древний Египет, когда о математики не было представления как об отдельной науке, это не мешало использовать ее для систематизации и упрощения жизни людей. С течением времени, она способствовала развитию других наук, таких как: медицина, астрономия, экономика, письменность и т.д. Всё это говорит об огромной значимости изучения и развития математики. И не смотря на то, что после огромного промежутка времени, прошедшему до наших дней и образовавшему современную математику, ее корни начали путаться, а философская мысль всё усложняться, она до сих пор является одной из основ современной науки, значительно улучшающей жизнь современного человека. Именно поэтому историю формирования и основы возникновения математики следует изучать и структурировать, чтобы понимать, что эту замечательную область человеческих знаний ждёт впереди.

Литература

1. История математики с древнейших времен до начала Нового времени / Под ред. А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, — Т. I, 1970. — 352 с.

2. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика древнего Египта, Вавилона и Греции / Перевод с голландского И.Н. Веселовского. — М.: Физматгиз, 1959.

3. Википедия — свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/История_математики.

4. Лешкевич Т.Г. Философия науки: традиции и новации. Учебное пособие для вузов. — М.: Издательство ПРИОР, 2001. — 428 с.

5. Сычева Л.С. Философские проблемы математики. Материалы для выполнения учебных заданий. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 2006. — 210 с.

6. Дроздов Н.Д. История и методология прикладной математики. Учебное пособие. — Тверь: Твер. гос. ун-т, 2006. — 303 с.

7. Википедия — свободная энциклопедия [Электронный ресурс]. — Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_множеств.

8. Новиков С.П. Вторая половина XX века и её итог: кризис физико-математического общества в России и на Западе // Вестник ДВО РАН, 2006, вып.4., С. 3 -22.