Оглавление:
Матричная запись системы линейных уравнений
Система 
уравнений с 
неизвестными 
называется линейной, если она имеет вид
где 
, 
(
; 
) — числа, причем для каждого 
имеется хотя бы одно , отличное от нуля.
Матрица
называется матрицей системы, а матрица
которая получается из матрицы 
приписыванием столбца из свободных членов — расширенной матрицей системы.
Систему (1) можно записать в матричном виде 
, где имеет вид (2);
Систему (1) можно записать также в виде
Теорема Кронекера-Капелли
Система называется совместной, если существует хотя бы одно решение этой системы. В противном случае система называется несовместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение. Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной.
Теорема. Система из уравнений с неизвестными совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу расширенной матрицы 
. При этом, если ранг 
обеих матриц равен числу неизвестных, т. е. 
, то система имеет единственное решение. Если же 
, то система имеет бесконечное множество решений.
Правило Крамера
Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными
Матрица такой системы является квадратной матрицей порядка . Определитель этой матрицы
называется определителем системы (4).
Невырожденная система линейных уравнений с неизвестными имеет единственное решение, которое может быть найдено по формулам Крамера:
где 
— определитель, полученный из определителя 
заменой 
-го столбца столбцом из свободных членов системы.
Матричное решение системы линейных уравнений
Запишем систему линейных уравнений (4) в матричном виде . Предположим, что 
. В этом случае матрица имеет обратную матрицу 
такую, что 
. Умножим обе части уравнения слева на . Получим
Решение системы линейных уравнений имеет вид:
где 
и 
— матрицы-столбцы; — матрица, обратная матрице системы.
Метод нахождения решения системы с использованием формулы (6) назовем матричным.
Задача №8.
Выяснить, является ли система
невырожденной, и если является, то решить ее по формулам Крамера (5).
Решение:
Так как определитель данной системы
то система является невырожденной.
Для того чтобы воспользоваться формулами Крамера (5), находим:
Подставляя в (5) значения 
, имеем: 
.
Задача №9.
Решить матричным методом систему
Решение:
Для данной системы основная матрица
Обратная матрица
По формуле (6)
или
Отсюда 
.
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
| Обратная матрица с решением задачи |
| Ранг матрицы задачи с решением |
| Решение произвольных систем матриц задача с решением |
| Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) задачи с решением |
