Матрицы. Операции над матрицами

Матрицей размера называется прямоугольная таблица из чисел (, )

состоящая из строк и столбцов.

Элементы называются элементами матрицы; элемент расположен в -й строке и в -м столбце данной матрицы; — число строк, — число столбцов.

Матрица размера называется столбцом, матрица размера — строкой.

Матрица размера называется квадратной матрицей порядка .

Квадратная матрица называется:

а) треугольной, если все элементы по одну сторону от главной или
побочной диагоналей равны нулю, например: ;

б) диагональной, если для все , т.е. ;

в) единичной матрицей , на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Приведем пример единичной матрицы 3-го порядка:

Для любой квадратной матрицы порядка

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю .

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю .

Матрица называется обратной к невырожденной матрице , если

Если в матрице заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица .

Квадратная матрица называется симметрической, если .

Матрица , элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы , называется присоединенной к матрице .

Обратную матрицу можно найти с помощью присоединенной матрицы:

Для матрицы размера 3×3: .

Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Операции над матрицами

1. Две матрицы и размера равны тогда и только тогда, когда для всех и .

2. Суммой двух матриц и размера называется матрица того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицы и :

3. Произведением матрицы размера на число называется матрица того же размера, получающаяся из матрицы умножением всех ее элементов на число :

4. Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов -й строки матрицы и -го столбца матрицы :

где

В каждом произведении матриц число столбцов матрицы должно равняться числу строк матрицы .

Максимальный порядок отличного от нуля миноров матрицы называется ее рангом ().

Приведем два способа вычисления ранга матрицы:

1. Используется для матрицы малых размеров. Выбирается произвольно какой-либо минор второго порядка матрицы. Если он отличен от нуля, то выбирается минор третьего порядка, в который входит выбранный ранее минор второго порядка и т. д. Этот метод называется методом окаймляющих миноров.
2. С помощью элементарных преобразований приводят матрицу к треугольному виду.

Элементарные операции над строками (столбцами) матрицы не меняют ее ранга:

1. Перестановка строк (столбцов) местами.
2. Умножение любой строки (столбца) на число, отличное от нуля.
3. Прибавление к одной строке (столбца) другой, умноженной на число.
4. Вычеркивание нулевой строки (столбца).

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Системы линейных уравнений

Векторная алгебра: основные понятия и определения

Определители матрицы: алгоритм, примеры вычисления

Ряды в высшей математике