Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Сущность и цель преобразований

Цель преобразования электрических цепей состоит в упрощении схем путем эквивалентных преобразований, приводящих к уменьшению числа ветвей и узлов. Эквивалентные преобразования входят во все методы расчета в качестве первого шага в последовательностях расчета. Под эквивалентными преобразованиями мы будем понимать преобразования одной части схемы, при которых в остальной части величины токов и напряжений остаются неизменными, как и сама схема.

Расчет цепи при последовательном соединении элементов и закон Ома для ветви, содержащей ЭДС

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Рассмотрим электрическую цепь при последовательном соединении и ЭДС и резисторов, когда величина тока во всех элементах одинакова.

Все величины ЭДС и резисторов известны, как и напряжение на входе цепи. Необходимо упростить цепь до двух элементов (рисунок 3.6) и определить величину тока.

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Для решения задачи выберем произвольное направление тока Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и обхода контура и на основании второго закона Кирхгофа составим уравнение:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Учитывая, что ток Метод эквивалентного преобразования электрических цепей одинаковый во всех резисторах, выносим его за знак суммы и вводим обозначения:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей — эквивалентное сопротивление, определяемое в виде арифметической суммы всех последовательно соединенных сопротивлении;

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей — эквивалентная ЭДС, определяемая как алгебраическая сумма ЭДС.

С учетом выполненных обозначений, уравнение приобретает вид:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Схема имеет вид (рисунок 3.6), а величина тока:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Расчет цепи при параллельном соединении элементов

Задана электрическая цепь, содержащая параллельно соединенные элементы, т.е. на всех элементах напряжения одинаковые (рисунок 3.7). Величины сопротивлений резисторов заданы Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и токи источников тока Метод эквивалентного преобразования электрических цепей. Необходимо рассчитать ток Метод эквивалентного преобразования электрических цепей.

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Решение задачи выполним на основании первого закона Кирхгофа, предварительно выбрав направления токов в ветвях, с резисторами от верхнего узла с большим потенциалом к нижнему с меньшим потенциалом:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

В представленном уравнении все подтекающие токи взяты со знаком «+», а оттекающие — со знаком «-». Т.к. величина тока в любом резисторе может быть найдена по закону Ома:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

то ток Метод эквивалентного преобразования электрических цепей на входе цепи может быть вычислен по выражению:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

где Метод эквивалентного преобразования электрических цепей — эквивалентная проводимость всех ветвей с резисторами определяемая как арифметическая сумма проводимостей всех параллельно соединенных резисторов; Метод эквивалентного преобразования электрических цепей — ток эквивалентного источника тока, определяемый как алгебраическая сумма всех параллельно соединенных источников тока. Знак тока источника тока положителен, если он направлен от узла и отрицателен, если он направлен к узлу.

В соответствии с последним уравнением можно зарисовать эквивалентную схему замещения (рисунок 3.8).

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Расчет цепи при смешанном соединении элементов

Под смешанным соединением элементов понимают такие соединения, при которых цепь содержит одновременно последовательно соединенные элементы и параллельно соединенные элементы.

Задача 3.1.

Рассчитать эквивалентное сопротивление для схемы, представленной на рисунке 3.9, если:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Решение:

На первом этапе объединим последовательно соединенные элементы Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и параллельно соединенные элементы Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и Метод эквивалентного преобразования электрических цепей: Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

В результате получаем упрощенную схему (рисунок 3.10).

На втором этапе суммируем сопротивления Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и получаем эквивалентное сопротивление всей схемы относительно входных зажимов 1 и 2: Метод эквивалентного преобразования электрических цепей Ом.

Задача 3.2.

Задана электрическая цепь (рисунок 3.11.). Для величин элементов: Метод эквивалентного преобразования электрических цепей Метод эквивалентного преобразования электрических цепей Метод эквивалентного преобразования электрических цепей выполнить расчет величин токов в ветвях электрической цепи.

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Решение:

Выбираем направления токов в ветвях электрической цепи с учетом направления ЭДС Метод эквивалентного преобразования электрических цепей. На первом этапе объединяем резисторы Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и Метод эквивалентного преобразования электрических цепей.

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

На рисунке 3.12 представлена упрощенная схема. Объединяем сопротивления ветвей, подключенных параллельно, к узлам Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и Метод эквивалентного преобразования электрических цепей:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Следовательно:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

На рисунке 3.13 получена неразветвленная электрическая цепь.

Применяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Решаем уравнение относительно тока Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Вычисляем напряжение Метод эквивалентного преобразования электрических цепей по закону Ома:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Тогда:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Выполним проверку вычислений по балансу мощностей:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Задача 3.3.

Пользуясь методом преобразования, рассчитать эквивалентное входное сопротивление электрической цепи (рисунок 3.14.) относительно точек Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и Метод эквивалентного преобразования электрических цепей если величины элементов имеют значения:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей
Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Решение:

Так как схема содержит ветви без элементов, то узлы и точки с равными потенциалами можно объединить. Объединяем точку в и б и узел г с узлом д. Упрощенная схема представлена на рисунке 3.15. Рассчитаем эквивалентные сопротивления Метод эквивалентного преобразования электрических цепей и Метод эквивалентного преобразования электрических цепей:

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Эквивалентное сопротивление всей цепи относительно точек а и б, в соответствии с новой схемой (рисунок 3.16):

Метод эквивалентного преобразования электрических цепей

Эта страница взята со страницы задач по электротехнике:

Электротехника — решения задач и примеры выполнения заданий

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Потенциальная диаграмма
Баланс мощностей
Эквивалентные преобразования резисторов, включенных в виде «треугольника» или трехлучевой «звезды»
Эквивалентные преобразования участков цепи с источниками энергии