Пусть необходимо найти корень уравнения вида 
с точностью 
, если известно, что корень принадлежит промежутку 
. Графически это означает, что необходимо найти нули
функции — значения переменной 
, в которых график пересекает ось 
, и эти значения по условию должны принадлежать промежутку .
Рассмотрим функцию 
на отрезке (рис. 46.2). График данной функции обязательно пересекает ось в некоторой точке 
. Наша задача — найти абсциссу этой точки — значение 
.
Выполним следующие действия:
- Проведем хорду
. Она пересекает ось в точке с абсциссой 
. - Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка
. - Проведем хорду
. Она пересекает ось в точке с абсциссой 
. - Выберем точку на кривой, абсцисса которой равна — точка
и т.д.
Будем продолжать этот процесс до тех пор, пока разность между последующим 
и предыдущим 
значениями переменной не станет меньше заданной в условии задачи точности , т.е. 
. Это означает, что , практически не будут отличаться от .
Выведем формулы для нахождения 
:
1. Выпишем координаты точек 
и 
: 
.
2. Составим уравнение прямой : 
.
3. Найдем точку пересечения прямой с осью . Она имеет координаты 
. Заменим в уравнении на , 
на 0: 
.
Выразим . По свойству пропорции 
.
4. Поскольку для нахождения нужно проводить новую прямую через точки 
и 
и находить точку ее пересечения с осью , произведем по аналогии следующую замену: роль 
будет выполнять , роль 
. Получим, что 
.
5. Обобщим проведенные рассуждения. Для нахождения будем использовать следующую формулу: 
.
В рассмотренном нами случае при проводимых преобразованиях точка оставалась неподвижной.
Возможен и другой вариант: неподвижной может быть точка (рис. 46.3). В этом случае будем использовать другую формулу: 
.
Для удобства формулы (1) и (2) можно объединить в одну: 
, где 
— абсцисса неподвижной
точки (
или 
), 
— конец отрезка , не являющийся абсциссой неподвижной точки, 
Правило выбора неподвижной точки:
Неподвижной точкой является тот конец отрезка , для которого знак функции в этой точке совпадает со знаком второй производной функции в той же точке.
Пример №46.2.
Найти приближенное решение уравнения 
на 
, использую метод хорд с точностью 
.
Решение:
Составим функцию 
.
1. Выберем неподвижную точку. Для этого найдем 
и 
:
. Найдем знак функции и второй производной на каждом конце отрезка: в точках 0 и 1.
. Видим, что при 
знак функции совпадает со знаком второй производной. Следовательно, 
— абсцисса неподвижной точки.
2. Поскольку при решении задачи расчеты получаются достаточно громоздкие, их удобно выполнять с использованием компьютера, например, программы Microsoft Excel.
В качестве шапки таблицы можно предложить следующий вариант:
В столбце будет указываться номер выполняемого шага 
. Первое значение всегда выбираем равным 0.
В столбце будут располагаться значения 
и т.д. В качестве в ячейку 
занесем значение того конца отрезка, который не является абсциссой неподвижной точки. В нашем случае это 
.
В столбце 
будут содержаться значения функции в точках и т.д., необходимые для расчета по формуле (3). Для нахождения 
в ячейку 
введем формулу. Поскольку 
, а первое значение находится в ячейке , то формула будет иметь вид: 
.
В столбце 
будет осуществляться проверка того, не превосходит ли 
заданной точности . Эта проверка будет начинаться с 
, и ячейка 
не заполняется.
Столбцы 
и 
— вспомогательные. Поскольку в формуле (3) используется и 
, то их можно один раз записать соответственно в ячейках 
и 
и в дальнейшем делать на них абсолютные ссылки.
После заполнения второй строки, она будет иметь вид:
Начнем заполнение третьей строки. Номер шага в ячейке 
будет равен 1.
Для расчета в ячейке 
применим формулу (3), которая в программе Microsoft Excel примет вид: 
. Ссылки на ячейки и содержат знак 
, т.е. являются абсолютными, и при копировании данной формулы меняться нс будут.
Для расчета 
в ячейке 
достаточно просто скопировать формулу из ячейки , и она будет иметь вид: 
.
В ячейку 
занесем формулу для расчета модуля разности между последующим и предыдущим значением 
. Произведем проверку: если содержимое этой ячейки больше , то расчеты необходимо продолжить, меньше — закончить.
После заполнения третьей строки, она будет иметь вид:
Достоинства программы Microsoft Excel с том, что нам достаточно ввести только формулы, все расчеты машина произведет сама. Видим, что содержимое ячейки 
больше заданной точности , следовательно, расчеты следует продолжить.
Все основные формулы уже введены, в дальнейшем будем использовать только возможности автозаполнения. После выполнения следующих шагов таблица будет иметь вид:
Видим, что в ячейке 
содержимое 0,006932015 стало меньше заданной точности , следовательно, расчеты следует закончить и в качестве приближенного решения уравнения взять
последнее с точностью 2 знака после запятой. В нашем примере это 
.
Ответ: 
.
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
| Погрешности вычислений с приближенными данными. |
| Понятие алгебраического и трансцендентного уравнения и методов их приближенного решения. |
| Метод касательных. |
| Задача численного интегрирования. |
