Для связи в whatsapp +905441085890

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов имеет многочисленные приложения. В частности, он применяется для нахождения эмпирических формул при решении задач сглаживания экспериментальных зависимостей.

Пусть в результате Метод наименьших квадратов измерений получена совокупность соответствующих значений двух величин Метод наименьших квадратов и Метод наименьших квадратов. Предположим, что результаты эксперимента указывают на линейную зависимость между Метод наименьших квадратов и Метод наименьших квадратов, то есть Метод наименьших квадратов.

Но из-за погрешности измерений и из-за случайных возмущений, как правило, имеет место разброс экспериментальных данных (точек Метод наименьших квадратов) вокруг предполагаемой прямой линии Метод наименьших квадратов. Требуется подобрать Метод наименьших квадратов и Метод наименьших квадратов так, чтобы имело место наилучшее согласование прямой и экспериментальных точек. Это равносильно тому, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных точек от точек сглаживающей прямой обращалась в минимум. Из условия минимума функции Метод наименьших квадратов найдем параметры Метод наименьших квадратов и Метод наименьших квадратов.

Метод наименьших квадратов; откуда

Метод наименьших квадратов

Итак, для нахождения Метод наименьших квадратов и Метод наименьших квадратов получилась система двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример:

Найти формулу вида Метод наименьших квадратов методом наименьших квадратов по данным опыта

Метод наименьших квадратов

Решение:

Для определения коэффициентов Метод наименьших квадратов и Метод наименьших квадратов в линейной функции Метод наименьших квадратов предварительно вычислим

Метод наименьших квадратов

Система для определения параметров примет вид:

Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов, откуда

Метод наименьших квадратов

Искомая прямая есть Метод наименьших квадратов.

На рис. 2 показаны найденная линейная функция и полученные экспериментальные данные.

На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:

Высшая математика краткий курс лекций для заочников

Возможно вам будут полезны эти страницы:

Производная в данном направлении. Градиент функции
Наибольшее и наименьшее значение функции z=f(x,y)
Двойной интеграл
Тройной интеграл