Оглавление:
Метод неопределённых коэффициентов
Иногда для решения алгебраических задач с одной или несколькими переменными используют метод неопределённых коэффициентов. Суть метода состоит в том, что для исследуемого выражения подбирается подходящая параметрическая модель, которая описывает это выражение при всех значениях входящих в него переменных. Модель содержит в себе неизвестные параметры (неопределённые коэффициенты), подлежащие определению. Применение метода в конечном итоге сводится к составлению системы уравнений, из которой и находятся неопределённые коэффициенты и затем подставляются в математическую модель. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений может оказаться громоздкой и поэтому трудной не только для нахождения решения, но даже для его подбора.
Пример №357.
Найти такие числа 
и 
, что при всех 
справедливо равенство
Решение:
Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов. Раскроем скобки в левой и правой частях уравнения, и приведём образовавшиеся при этом многочлены 3-й степени к стандартному виду:
Учитывая, что два кубических многочлена тождественно (при всех 
) равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной , выписываем систему:
решая которую находим 
Пример №358.
Квадратный трёхчлен 
является разностью кубов двух линейных функций с положительными коэффициентами. Найти эти функции.
Решение:
Согласно условию, при всех действительных выполняется тождество
Раскроем кубы в правой части этого равенства и приведём образовавшийся кубический многочлен к стандартному виду:
Используя условие тождественного равенства двух многочленов и приравнивая коэффициенты, получаем систему алгебраических уравнений
Из второго и третьего уравнений находим
Подставляя в четвёртое уравнение, получим:
Умножим последнее равенство на 
:
Учитывая, что по условию 
, имеем 
Тогда 
и искомые линейные функции имеют вид 
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
