Оглавление:
Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса осуществляется по следующей схеме.
1. Выбираем одно из уравнений системы, в котором коэффициент при одном из неизвестных, например, при 
, отличен от нуля. Производя над уравнениями системы преобразования, которые приводят к равносильной системе, исключаем неизвестное из всех уравнений, кроме выбранного ранее. В этом заключается первый шаг метода Гаусса.
В результате первого шага может получиться такая система, о которой можно сразу сказать, что она несовместна, а следовательно, и данная система также несовместна.
Если полученная система состоит только из одного выбранного нами уравнения, то исходная система имеет одно решение или бесчисленное множество решений в зависимости от того, имеются ли свободные неизвестные. Во всех остальных случаях переходим ко второму шагу.
2. В системе, полученной в результате первого шага, выбираем одно из уравнений (отличное от выбранного в первом шаге), в котором коэффициент при другом неизвестном, например, при 
, отличен от нуля. Исключаем из всех уравнений, кроме двух выбранных.
Если это нужно, аналогично производим последующие шаги.
После нескольких шагов будет иметь место один из случаев:
а) получится явно несовместная система;
б) получится треугольная система, т. е. система вида
где 
, 
.
Система (7), а следовательно, и исходная система имеет единственное решение. Так как , то из последнего уравнения (7) находим 
. В предпоследнее уравнение подставляем , получим единственное значение для 
, так как 
. Продолжая этот процесс, находим последовательно 
. Указанный способ нахождения неизвестных называется обратным ходом метода Гаусса;
в) получится трапециевидная система, т. е. система вида:
где 
, 
, 
.
В системе (8) число неизвестных больше числа уравнений. Так как , то из последнего уравнения этой системы 
единственным образом выражается через 
. Осуществляя обратный ход, выразим единственным образом неизвестные 
через 
. Придавая последним произвольные значения 
, получим бесконечно много решений системы (8), а следовательно, и данной системы.
Заметим, что при применении метода Гаусса на практике имеет смысл вместо преобразований системы производить соответствующие преобразования над строками расширенной матрицы системы, т. е. приводить расширенную матрицу системы к трапециевидной с помощью элементарных преобразований над строками.
Задача №11.
Решить методом Гаусса систему
Решение:
Расширенная матрица системы имеет вид
Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-2), к третьей — первую, умноженную на (-3), к четвертой — первую, умноженную на (-1), получим
Разделим третью строку на 13 и поменяем местами вторую и третью строки:
Прибавим к третьей строке вторую, умноженную на (-9), к четвертой — вторую, умноженную на (-2):
Разделив вторую строку на (-2), а третью на (-7), имеем:
Этой матрице соответствует система
Осуществляя обратный ход, находим: 
Таким образом, множеством решений будет
Задача №12.
Решить методом Гаусса систему уравнений
Решение:
Расширенная матрица системы имеет вид
Поменяв местами первую и вторую строки, имеем
Прибавив ко второй строке первую, умноженную на (-2), а к третьей — первую, умноженную на (-3), получим
Прибавив к третьей строке вторую, умноженную на (-1), получим
Этой матрице соответствует система
Осуществляя обратный ход, находим: 
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
