Для связи в whatsapp +905441085890

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Метод вариации произвольных постоянных для неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений

Рассмотрим ЛНДУ (51.1). Его общим решением является функция (51.3), т. е.

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Частное решение Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ уравнения (51.1) можно найти, если известно общее решение Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ соответствующего однородного уравнения (51.2), методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ — общее решение уравнения (51.2). Заменим в общем решении постоянные Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ неизвестными функциями Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и подберем их так, чтобы функция

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

была решением уравнения (51.1). Найдем производную

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Подберем функции Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ так, чтобы

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Тогда

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Подставляя выражение для Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ, Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ в уравнение (51.1), получим:

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

или

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Поскольку Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ — решения уравнения (51.2), то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Таким образом, функция (51.6) будет частным решением Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ уравнения (51.1), если функции Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ удовлетворяют системе уравнений (51.7) и (51.8):

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Определитель системы Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ, так как это определитель Вронского для фундаментальной системы частных решений Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ уравнения (51.2). Поэтому система (51.9) имеет единственное решение: Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ, где Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ — некоторые функции от Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ. Интегрируя эти функции, находим Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ, а затем по формуле (51.6) составляем частное решение уравнения (51.1).

Пример №51.1.

Найти общее решение уравнения Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ.

Решение:

Найдем общее решение Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ соответствующего однородного уравнения Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ. Имеем: Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ. Следовательно, Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ. Найдем теперь частное решение Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ исходного уравнения. Оно ищется в виде (51.6): Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ. Для нахождения Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУсоставляем систему уравнений вида (51.9):

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Решаем ее:

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

Запишем частное решение данного уравнения: Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ. Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной следующая теорема.

Теорема 51.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (51.1) представляет собой сумму двух функций: Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ, a Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ — частные решения уравнений Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ и Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ соответственно, то функция Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ является решением данного уравнения.

Действительно,

Метод вариации произвольных постоянных ЛНДУ

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Интегрирование линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка с постоянными коэффициентами
Структура общего решения ЛНДУ второго порядка
Интегрирование нормальных систем
Ряд геометрической прогрессии