Оглавление:
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
Уравнение (48.11) интегрируется следующим образом.
Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. уравнение 
. Оно называется линейным однородным ДУ первого порядка. В этом уравнении переменные делятся:
Таким образом, 
, т.е.
или 
, где 
.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что постоянную 
в полученном решении заменяем функцией 
, т. е. полагаем 
. Решение уравнения (48.11) ищем в виде
Находим производную:
Подставляем значения 
и 
в уравнение (48.11):
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет вид
Следовательно,
Интегрируя, находим:
Подставляя выражение в равенство (48.14), получим общее решение ДУ (48.11):
Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (cр. с (48.13)).
Пример №48.9.
Решить пример 48.8 методом Лагранжа.
Решение:
Решаем уравнение 
. Имеем 
, или 
. Заменяем на , т. е. решение ДУ 
ищем в виде 
. Имеем
Тогда
, т.е. 
, или 
, или 
. Поэтому 
, или 
— общее решение данного уравнения.
Замечание. Уравнение вида 
, где 
, 
— заданные функции, можно свести к линейному, если 
считать функцией, а — аргументом: 
. Тогда, пользуясь равенством 
, получаем 
, т. е. 
— линейное относительно уравнение. Его решение ищем в виде 
, где 
— две неизвестные функции.
Дополнительный пример №48.10.
Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести к линейному.
Если 
, то ДУ (48.15) — линейное, а при 
— с разделяющимися переменными.
В общем случае, разделив уравнение (48.15) на 
, получим:
Обозначим 
. Тогда 
. Отсюда находим 
. Уравнение (48.16) принимает вид
Последнее уравнение является линейным относительно 
. Решение его известно. Таким образом, подстановка 
сводит уравнение (48.15) к линейному. На практике ДУ (48.15) удобнее искать методом И. Бернулли в виде 
(не сводя его к линейному).
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Однородные дифференциальные уравнения |
| Линейные уравнения Бернулли |
| Уравнение в полных дифференциалах интегрирующий множитель |
| Уравнения Лагранжа и Клеро |
