Оглавление:
Метод замены неизвестных с применением модуля
Суть метода состоит в том, что в целях упрощения дальнейшего решения задачи вводится одна или несколько новых переменных. В конце решения задачи делается так называемая обратная подстановка, в результате которой осуществляется переход к первоначальным переменным. Возможные трудности при использовании этого метода связаны с необходимостью подбора удачной подстановки, которую не всегда бывает легко увидеть. Рассмотрим примеры использования этого подхода в задачах с модулями.
Пример №318.
Решить неравенство 
Решение:
Положим 
, тогда имеем квадратное неравенство 
(так как 
). Итак, 
Ответ: 
Пример №319.
Решить неравенство
Решение:
Положим 
тогда неравенство примет вид 
Решим его с помощью метода интервалов.
1) 
: раскрыв модули на этом промежутке, получим 
Пересекая с промежутком, находим решения 
2)
раскрывая оба модуля, получим 
т.е. 
Это неравенство выполняется при всех у из рассматриваемого полуинтервала, поэтому имеем решения
3) 
на этом интервале неравенство приводится к виду 
Пересекая с промежутком, получим 
Объединяя все найденные решения, получаем 
Оста-лось сделать обратную подстановку: 
Отсюда получаем окончательный ответ. Ответ: 
Пример №320.
Решить уравнение
Решение:
Выполним двойную подстановку: 
Так как 
то исходное уравнение в результате замены примет вид:
Первое из уравнений сводится в результате обратной подстановки к уравнению
Второе из уравнений 
не имеет решений. Ответ: 
Пример №321.
Решить уравнение
Решение:
Положим 
Тогда уравнение примет вид
Поскольку все три слагаемых в левой части уравнения неотрицательны, то уравнение равносильно системе
Пример №322.
Числа a,b,c,d удовлетворяют условиям 
Доказать, что 
Решение:
Воспользуемся тригонометрической подстановкой. Из условий задачи следует, что 
Подставляя в неравенство, получим
— верно, что и требовалось доказать.
Другие примеры на замену переменной были рассмотрены выше в пункте, посвященном использованию свойств модулей.
Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:
Эти страницы возможно вам будут полезны:
