Методические указания по гидравлике для студентов

Оглавление:

Основные обозначения

— координаты декартовой системы;
— проекции скорости на координатные оси соответственно;
— коэффициент теплоотдачи;
— плотность;
— коэффициент теплопроводности;
— динамический коэффициент вязкости;
— кинематический коэффициент вязкости;
— время; касательное напряжение трения;
— нормальное напряжение трения;
— коэффициент температуропроводности; скорость звука;
— удельная внутренняя энергия (внутренняя энергия 1 кг вещества);
— удельная энтальпия (энтальпия 1 кг вещества);
— удельный тепловой поток (плотность теплового потока);
— удельное количество теплоты (количество теплоты 1 кг вещества);
— удельная работа (работа 1 кг вещества);
— теплоемкость;
— давление;
— удельный объем (объем 1 кг вещества);
— температура в °С;
— температура в К;
— газовая постоянная;
— универсальная газовая постоянная;
— тепловой поток;
— количество теплоты;
— работа;
— число Архимеда;
— число Грасгофа;
— число Фурье;
— число Кнудсена;
— число Эйлера;
— число Рейнольдса;
— число Нуссельта;
— число Маха;
— число Пекле;
— число Прандтля;
— Число Струхаля;
— число Стантона.

Введение в гидравлику

Гидравлика — это наука, изучающая законы равновесия и движения жидкостей. Гидравлику подразделяют на гидростатику и гидродинамику. Гидростатика изучает законы равновесия жидкостей, а гидродинамика — законы движения жидкости.

Основоположником гидравлики считается Архимед (250 г. до н. э.), который занимался вопросами гидростатики и плавания. Знаменитые открытия и изобретения, такие как центробежный насос, парашют, анемометр были сделаны еще в эпоху Возрождения знаменитым художником и инженером Леонардо да Винчи. Большой вклад в становлении гидравлики как науки сделан Галилеем, Торричелли, Паскалем, Бернулли, Эйлером, Рейнольдсом, Прантлем, Колмогоровым и др.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Предмет гидравлика

Гидравлика непосредственно связана с интенсивно развивающейся в настоящее время наукой — теплотехникой. Основу теплотехники составляют термодинамика и теория тепломассообмена.

Термодинамика — это наука, которая изучает законы взаимопреобразования и передачи энергии.

Исторически термодинамика возникла в результате изучения сравнительно узкого круга вопросов, связанных с теорией работы тепловых двигателей. Большой вклад в становление и развитие термодинамики был сделан Карно, Клапейроном, Клаузиусом, Менделеевым и др.

Теория тепломассообмена рассматривает процессы переноса теплоты в пространстве с неоднородным распределением температур, часто сопровождающееся при этом переносом вещества. Основы теории тепломассообмена были заложены в XVIII — XIX вв. Большой вклад в становлении и развитии науки был сделан Михеевым, Кутателадзе, Леонтьевым и др.

Физические свойства жидкостей

Основные физические свойства жидкостей

Обычно под общим названием жидкости объединяют капельные жидкости (вода, спирт, керосин и др.) и газы (воздух, метан и др.). Плотность

Плотностью называется физическая величина, численно равная отношению массы тела к его объему:

где — масса жидкости, кг; — объем сосуда, который занимает жидкость, .

Сжимаемость

Сжимаемостью называется свойство жидкости изменять свой объем при изменении давления и температуры.

Сжимаемость характеризуется коэффициентом объемного сжатия , которое определяет относительное уменьшение объема жидкости при увеличении давления:

где — начальный объем, — элементарное изменение объема, -элементарное изменение давления, Па. Температурное расширение

Температурное расширение жидкостей характеризуется коэффициентом температурного расширения , определяющим увеличение объема жидкости при повышении температуры:

где — элементарное изменение температуры, . Силы внутреннего трения (силы вязкости)

При движении реальных жидкостей возникают касательные силы трения. В плоском потоке с поперечным сдвигом касательное напряжение трения выражается законом Ньютона:

где — динамический коэффициент вязкости, Па — с. Для реальных жидкостей и газов зависит от температуры и давления (рис. 1.1).

Зависимость от температуры представлена формулой Сатерленда:

где — динамический коэффициент вязкости при некоторой температуре — постоянная Сатерленда. К примеру, для воздуха .

Кроме динамического коэффициента вязкости при анализе потоков жидкости и газа используется кинематический коэффициент вязкости:

Кинематический коэффициент вязкости также зависит от температуры (рис. 1.2) и более существенно зависит от давления, в отличие от .

Теплопроводность

Теплопроводность представляет собой физическую величину, определяющую способность тел проводить тепло. Теплопроводность зависит от природы вещества, его структуры, температуры и других факторов. Теплопроводность жидкостей меняется в диапазоне от 0,06 до 0,7 (рис. 1.3). С увеличением температуры теплопроводность у всех жидкостей, за исключением воды и глицерина, уменьшается.

Теплопроводность газов примерно меняется в диапазоне от 0,006 до 0,1 (рис. 1.4). Исключение составляют водород и гелий, теплопроводность которых в 5 — 10 раз выше, чем у остальных газов.

Согласно молекулярно-кинетической теории теплопроводность определяется формулой

где — коэффициент теплопроводности, — средняя скорость перемещения молекул, — средняя длина свободного пробега молекул, м; — удельная (массовая) изохорная теплоемкость газа — плотность.

С увеличением температуры средняя скорость перемещения молекул газа увеличивается и согласно формуле (1.6) увеличивается его теплопроводность.

Более точные результаты зависимости теплопроводности от температуры дает интерполяционная формула

где — теплопроводность при .

Теплопроводность водяного пара и других реальных газов, существенно отличающихся от идеальных, сильно зависит также и от давления.

Модели жидкости

С целью упрощения решения многих задач вместо реальной жидкости рассматривают ту или иную модель жидкости, которая обладает лишь некоторыми свойствами реальных жидкостей. Эти свойства являются определяющими в решаемой задаче, поэтому подобные упрощения не дают существенных погрешностей определения искомых величин.

Рассмотрим основные существующие модели жидкости.

Идеальная жидкость — это жидкость, лишенная вязкости.

Несжимаемая жидкость — это жидкость, не изменяющая плотности при изменении давления.

Совершенная жидкость — это несжимаемая жидкость, в которой силы сцепления между молекулами отсутствуют, а собственный объем молекул равен нулю.

Совершенный газ — это сжимаемая жидкость (газ), в которой силы сцепления между молекулами отсутствуют, а собственный объем молекул равен нулю.

Идеальный газ — совершенный газ, лишенный вязкости.

Бароклинная жидкость — это газ, плотность которого является функцией давления и температуры.

Баротропная жидкость — это газ, у которого плотность зависит только от давления.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Задачи по гидравлике

Гидростатика

Дифференциальные уравнения равновесия жидкости

В покоящейся жидкости выделим элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.1). На выделенный объем, в общем случае, действуют внешние массовые (гравитационные или инерционные) и поверхностные силы.

Проанализируем поверхностные силы. На грань , перпендикулярную оси , действует внешняя поверхностная сила , а на противоположную грань (и в противоположном направлении) — сила .

В уравнении (2.1) — вектор результирующего давления, действующего на площадку, перпендикулярную оси .

Таким образом, результирующая поверхностная сила, действующая на перпендикулярные оси грани выделенного объема, равна:

Аналогично для граней, перпендикулярных осям и можно записать, что

Также на выделенный объем жидкости будет действовать некоторая массовая сила

Чтобы жидкость находилась в покое необходимо, чтобы все действующие на выделенный объем жидкости силы компенсировали друг друга:

Если проекции массовой силы записать в виде

Тогда уравнения (2.9) будут иметь вид

Уравнения (2.7) представляют собой уравнения равновесия сплошной среды. При отсутствии массовых сил выражения (2.7) примут вид

Выражения (2.8) представляют собой математическую запись закона Паскаля, который гласит, что при отсутствии массовых сил давление жидкости или газа остается постоянным во всех точках анализируемой области.

Гидростатический закон. Гидростатическое давление

Рассмотрим случай массовой силы представляющей собой силу тяжести и направим ось по нормали к поверхности Земли, противоположно этой силе, тогда

где — ускорение свободного падения; — плотность жидкости. Знак минус свидетельствует о противоположном направлении оси и вектора силы тяжести.

Тогда уравнение равновесия будет иметь вид

Интегрируя это выражение, получаем

где — давление жидкости в сечении

Если за исходное сечение принять поверхность уровня жидкости а за — высоту столба жидкости, то получим выражение, представляющее собой гидростатический закон:

В уравнение (2.12) давление, пропорциональное плотности жидкости и высоте столба жидкости , представляет собой гидростатическое давление.

Гидростатическим давлением называют давление, которое оказывает жидкость на некоторую опору или поверхность, выделенную в толще жидкости.

Выделяют следующие свойства гидростатического давления:

Гидростатическое давление направлено всегда по внутренней нормали к площадке, на которую давление действует;
Гидростатическое давление в любой точке жидкости (на одной высоте) по всем направлениям одинаково.

Следует отметить, что выражение (2.12) имеет место не только в поле силы тяжести, но и любой другой внешней массовой силы, имеющей потенциал . Таким образом, все рассмотренные выражения преобразуются в выражения вида

После интегрирования (2.14) получаем

Уравнение (2.16) называют основным уравнением равновесия сплошной среды.

Условия равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах

Сообщающимися сосудами называют сосуды, соединенные друг с другом таким образом, чтобы жидкость свободно перетекала из одного сосуда в другой.

Закон сообщающихся сосудов гласит: в открытых сообщающихся сосудах при равновесии жидкости давление на любом горизонтальной уровне одинаково.

Если в открытые сообщающиеся сосуды налита одинаковая жидкость, то независимо от формы сосудов жидкость в обоих сосудах жидкость будет находится на одном уровне (рис. 2.2).

Если заполнить открытые сообщающиеся сосуды двумя несмешивающимися жидкостями, имеющими плотности и , например, ртутью и водой (рис. 2.3), то жидкость также распределится таким образом, чтобы давления этих жидкостей на любом горизонтальной уровне в обоих сосудах было одинаково. Выберем горизонтальный уровень жидкости , ниже которого жидкость однородна (рис. 2.3). Тогда .

Откуда следует, что

Уравнение (2.18) представляет собой условие равновесия жидкостей в сообщающихся сосудах.

На законе сообщающихся сосудов основано действие шлюзов, фонтанов и других устройств.

Простейшие гидравлические машины

Передача давления и энергии при помощи жидкости часто находит применение в практике машиностроения. Встречаются следующие так называемые простейшие гидравлические машины: гидравлические прессы, домкраты, подъемники и др. во всех этих машинах, имеющих разное назначение и различную конструкцию, используется один и тот же гидравлический принцип.

На рис. 2.4. показана схема гидравлического пресса.

Если к поршню, имеющему площадь приложить некоторую силу, то эта сила будет передаваться на жидкость, и с такой же силой жидкость будет действовать на поршень, площадью .

Таким образом, из равенства сил давления следует, что

Тогда

Следовательно, сжатие тела будет происходить под действием некоторого давления , которое непосредственно будет зависеть от отношения площадей двух поршней.

Основные методы и приборы измерения давления

Одним из первых измерил атмосферное давление итальянский ученый Торричелли. Метод его измерения состоял в следующем. Стеклянная трубка наполнялась жидкостью (чаще всего ртутью), затем трубка закрывалась и переворачивалась в открытую чашу с той же жидкостью (рис. 2.5). Под действием силы тяжести часть жидкости выливалась, а когда давление жидкости в трубке на уровне открытой поверхности жидкости в чаше становилось равным атмосферному давлению, жидкость переставала выливаться. Таким образом, устанавливалась определенная высота столба жидкости, по которой можно было судить о величине атмосферного давления

где — атмосферное давление; — плотность жидкости; — высота столба жидкости (пьезометрическая высота).

Подобные приборы получили название жидкостных барометров, они предназначены для измерения атмосферного (барометрического) давления.

Также для измерения атмосферного давления применяют металлический барометр — анероид. Основной частью анероида является металлическая коробочка с гофрированной поверхностью. Из коробочки частично откачен воздух, вследствие чего она реагирует на малейшее изменение атмосферного давления. Прибор градуируется и по величине прогиба поверхности коробочки судят о величине атмосферного давления.

Измерение давления, которое больше атмосферного, можно производить следующим образом. Если требуется измерить давление газа в некотором закрытом баллоне (рис. 2.6), то к баллону присоединяют -образную стеклянную трубку с некоторой жидкостью (в основном, с ртутью). Так как то по закону сообщающихся сосудов, чтобы жидкость находилась в равновесии под действием силы давления атмосферы с одной стороны и под действием силы давления газа с другой, необходимо, чтобы часть жидкости из одной трубки перетекла в другую и давления на любом горизонтальном уровне жидкости выровнялись.

Прибор, измеряющий избыточное (относительно атмосферного) давление, называется манометром. В данном случае был рассмотрен принцип действия жидкостного манометра.

Абсолютное давление газа в баллоне будет вычисляться по формуле:

где — разность уровней жидкости в -образном жидкостном манометре.

В настоящее время существует большое количество различных манометров. Большое распространение в последнее время получили манометры, работающие на пьезоэффекте, так называемые датчики давления. Принцип действия большинства датчиков давления основан на том, что чувствительная к изменению давления пьезоэлектрическая пластинка вырабатывает электричество. Электрический сигнал при этом фиксируется и по его величине судят о давлении.

Измерение давления, которое меньше атмосферного (вакуум), можно производить аналогичным образом. К закрытому баллону присоединяют -образную стеклянную трубку с некоторой жидкостью (в основном, с ртутью). Так как , то разность уровней жидкостей в -образной трубке будет показывать недостаточное (относительно атмосферного) давление (рис. 2.7).

Прибор, измеряющий недостаточное давление, называется вакуумметром. В данном случае был рассмотрен принцип действия жидкостного вакууметра. Абсолютное давление газа в баллоне будет вычисляться по формуле:

где — разность уровней жидкости в -образном жидкостном вакуумметре.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по гидравлике

Закон Архимеда

Пусть тело цилиндрической формы погружено в жидкость плотностью так, что его нижнее основание находится на уровне , а верхнее — на уровне (рис. 2.8). Тогда на верхнее основание цилиндра действует со стороны жидкости сила гидростатического давления , направленная вертикально вниз, а на нижнее основание цилиндра сила гидростатического давления ,

направленная вертикально вверх. Результирующая сил давления будет направлена вверх и равна:

где — гидростатические давления на уровнях и соответственно; — площадь основания цилиндра.

Силы давления можно представить в виде

Таким образом, результирующая сила

где — объем тела, погруженного в жидкость.

Сила будет представлять собой выталкивающую силу, которую называют силой Архимеда.

Закон Архимеда гласит: на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила , направленная вертикально вверх и численно равная весу вытесненной жидкости.

Равновесие и устойчивость тел, погруженных в жидкость. Равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости

Рассмотрим тело, которое погружено в жидкость. При этом на тело будут действовать сила Архимеда и внешняя массовая сила .

Точка, к которой приложена сила Архимеда называется центром давления. Внешняя массовая сила приложена к центру масс рассматриваемого тела.

Силы и , направленные вдоль одной прямой, но в разные стороны (рис. 2.9, а).

Если , очевидно, что тело будет двигаться вниз и опуститься на дно. Если , то тело будет двигаться вверх и всплывет на поверхность. Если , то тело находится в равновесии в толще жидкости.

При условии, что центр давления полностью погруженного в жидкость и находящегося в равновесии тела располагается выше центра масс , то равновесие является устойчивым (рис. 2.9, б). В этом случае, если вывести тело из равновесия, то пара сил и создадут момент, возвращающее тело в исходное положение.

Если центр давления располагается ниже центра масс (рис. 2.9, в), то равновесие является неустойчивым и при небольшом отклонении тела от положения равновесия, возникающая пара сил создает опрокидывающий момент, способствующий большему отклонению тела от положения равновесия.

Рассмотрим равновесие тела, плавающего на поверхности жидкости (рис. 2.10).

Линия пересечения поверхности тела плоскостью уровня жидкости называется ватерлинией, а плоскость, в которой расположена ватерлиния -плоскостью плавания.

Нормаль к плоскости плавания, проходящая через центр масс и центр давления называется осью плавания.

Необходимым условием равновесия плавающего на поверхности жидкости тела является равенство веса тела архимедовой силе (). В этом случае устойчивое равновесие возможно, когда центр давления расположен ниже центра масс.

Для определения условий устойчивого равновесия рассмотрим тело (рис. 2.11), отклонившееся от положения равновесия на угол . В этом случае на затопленную часть тела действует дополнительная архимедова сила , а на осушенную часть — равная по величине силе , но противоположно направленная ей сила веса этой части.

В результате на выведенное из положения равновесия тело будут действовать две пары сил , создающая опрокидывающий момент, и пара сил , создающая восстанавливающий момент. Равновесие будет устойчивым, если восстанавливающий момент больше опрокидывающего.

Условие устойчивого равновесия плавающего тела можно сформулировать следующим образом. При отклонении тела от исходного положения центр давления переместится из точки в точку (рис. 2.12). На тело при этом действует пара сил , где — архимедова сила, действующая на выведенное из положения равновесия тело. Если прямая, в направлении которой действует сила , пересечет ось плавания в точке, расположенной выше центра масс , то возникшая пара сил создает восстанавливающий момент и равновесие будет устойчивым.

Точка называется метацентром, а отрезок — метацентрической высотой.

Для устойчивого равновесия плавающего на поверхности тела необходимо и достаточно, чтобы метацентр располагался выше центра масс. Метацентрическая высота при этом принимает положительное значение.

Равновесие земной атмосферы

Уравнение равновесия атмосферы Земли можно представить уравнением (2.10). Считая воздух идеальным газом и воспользовавшись уравнением состояния идеального газа в виде

уравнение равновесия можно представить как

Если считать, что температура воздуха с высотой не меняется, то интегрирование уравнения (2.31) приводит к уравнению вида

где — давление на высоте .

Уравнение (2.32) можно записать в виде

Если считать, что температура с высотой меняется, то для адиабатного процесса такого изменения, уравнение равновесия будет иметь вид

где — показатель адиабаты (для воздуха = 1,4). Интегрируя выражение (2.34) получим

Возможны и другие зависимости изменения давления с высотой в случае, если температура с высотой изменяется более сложным образом.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Примеры решения задач по гидравлике

Гидродинамика

Основы кинематики

Линии и трубки тока. Уравнение расхода

Выделим некоторую область пространства, заполненную сплошной средой. Пусть в каждой точке пространства в данный момент времени известны направление и величина скорости. Выберем некоторую точку 1 (рис. 3.1), вектор скорости которой обозначим . Возьмем точку 2, расположенную на векторе вблизи точки 1. Вектор скорости в точке 2 обозначим . Таким же образом возьмем точку 3 с вектором скорости и т. д.

Отрезки между точками 1, 2, 3 образуют ломанную линию. Если провести огибающую векторов скорости, то получим линию, которая называется линией тока.

Линия тока — это геометрическое место точек, в которых в данный момент времени различные частицы имеют скорости, направленные по касательной к ней.

Различие между линией тока и траекторией заключается в том, что на линии тока скорости различных частиц среды в данный момент времени направлены по касательным к ней, а на траектории скорость одной и той же частицы в разные моменты времени направлена по касательной к ней (рис. 3.2). При установившемся движении линии тока совпадают с траекториями.

Выделим на линии тока элементарный отрезок . Найдем проекции на координатные оси :

Таким образом,

Выражение (3.2) называют уравнением линии тока.

Выделим в движущейся жидкости замкнутый элементарный контур (рис. 3.3) и проведем через каждую его точку линию тока.

Совокупность всех линий тока образует некоторую замкнутую поверхность, которая называется трубкой тока.

Жидкость, движущаяся внутри трубки тока, называется элементарной струйкой.

В любом сечении элементарной струйки массовый расход жидкости остается неизменным:

Уравнение (3.3) называют уравнением массового расхода в элементарной струйке.

Для несжимаемой жидкости

Уравнение (3.4) называют уравнением объемного расхода в элементарной струйке.

Движение жидкой частицы сплошной среды

Каждый элементарный объем движущейся жидкости участвует в сложном движении. Это движение складывается из поступательного движения по траектории, вращательного движения относительно собственных осей, деформационного движения, обусловленного подвижностью частиц жидкости и возможностью их смещения относительно друг друга.

Теорема Гельмгольца:

Скорость перемещения элементарного объема складывается из скоростей поступательного, вращательного и деформационного движений.

Определим скорости деформаций и вращения частицы.

Рассмотрим элементарный объем жидкости, взятый в форме прямоугольного параллелепипеда. Проекции этого объема на координатную плоскость в моменты времени, разделенные элементарным промежутком , показаны на рис. 3.4.

На рис. 3.4 — исходное положение элементарного объема; — его положение по истечении времени .

Совместим точки и . В точке , имеющей координаты составляющие скорости жидкости могут быть выражены как

Разложим функции (3.5) в ряд Тейлора с сохранением двух первых членов и выразим продольную и поперечную составляющие скорости жидкости в точках и :

Скорости линейной деформации частицы в направлении оси оси оси представляют собой изменение в единицу времени ее линейных размеров в направлении соответствующих осей, отнесенное к исходному размеру. Для координатных осей и в плоскости имеем

По аналогии

Найдем углы . Учитывая малость каждого из них, имеем

Скорость угловой деформации частицы в плоскости представляет собой изменение полусуммы углов и в единицу времени.

Аналогично для плоскостей и .

Совокупность всех скоростей деформации можно представить в виде матрицы , которую называют тензором скоростей деформации:

Угловая скорость вращения частицы вокруг оси представляет собой изменение в единицу времени угла поворота биссектрисы . Угол принято считать положительным, если поворот осуществляется против часовой стрелки и отрицательным — по часовой стрелки. С учетом принятой системы знаков:

Так как

получаем

Таким образом, угловая скорость будет равна

Аналогично определяются угловые скорости и .

Вектор угловой скорости вращения можно выразить соотношением

Вектор направлен по нормали к плоскости вращения. Удвоенное значение вектора называют вихрем скорости и обозначают символом .

Выразим скорости в произвольной точке 1 через скорости поступательного, деформационного и вращательного движения. Для этого выразим скорости в точке 1 с координатами через скорости в точке 0 с координатами . Разложим функции в ряд Тейлора в окрестности точки 0, ограничившись членами первого порядка, получим

Используя предыдущие выражения из (3.26) получаем

Формулы (3.27) выражают скорость в произвольной точке 1 потока через скорости поступательного, деформационного и вращательного движения.

Вихревое и безвихревое течение

В зависимости от того, какую величину имеет вектор угловой скорости вращения частиц, течение сплошной среды можно разделить на вихревое и безвихревое (потенциальное) течение. Вихревое течение имеет место при , а безвихревое — при .

Движение вязкой среды всегда является вихревым: из-за внутреннего трения в вязкой жидкости образуются вихревые области, однако при течении вдали от обтекаемой поверхности поток по свойствам приближается к потенциальному.

Для вихревого течения по аналогии с линией тока можно ввести понятие вихревой линии. Вихревая линия представляет собой геометрическое место точек, в которых направление вектора угловой скорости вращения частиц (вектора вихря) совпадает с направлением касательной.

Дифференциальное уравнение вихревой линии можно представить в виде

Замкнутую поверхность, образованную вихревыми линиями называют вихревой трубкой. Жидкость внутри вихревой трубки образует вихревой шнур.

Для безвихревого течения, из условия = 0, следует

Рассмотрим дифференциальный трехчлен

Равенства (3.31) являются необходимым и достаточным условиями для того, чтобы этот дифференциальный трехчлен был полным дифференциалом некоторой функции :

Таким образом,

Функцию называют потенциалом скорости.

Практическая важность потенциальных течений видна на примере несжимаемой среды. В уравнение неразрывности, представленной в форме

подставим выражения (3.33) и получим

Уравнение (3.36) называется уравнением Лапласа. Таким образом, чтобы определить поле скоростей, достаточно решить это уравнение при соответствующих граничных условиях.

Циркуляция скорости

Внутри конечных объемов жидкости различные частицы вращаются с разными скоростями и могут вращаться даже в разные стороны. Поэтому, в отличие от твердого тела, во всех точках которого угловая скорость одинакова, вращательное движение жидкости нельзя характеризовать вектором угловой скорости. Для этой цели вводится специальная величина, называемая циркуляцией скорости.

Циркуляцию скорости можно вычислять по любому участку произвольной кривой, проведенной в жидкости, или по замкнутой кривой. В первом случае ее называют циркуляцией скорости по дуге, во втором — циркуляцией по замкнутому контуру.

Выделим в движущейся среде замкнутый контур (рис. 3.5) и выберем на нем точку , в которой вектор скорости равен .

Циркуляция скорости по дуге определяется выражением

Циркуляция скорости по замкнутому контуру определяется выражением

При вычислении циркуляции по выражениям (3.37) и (3.38) направление интегрирования остается положительным, если ограниченная контуром область интегрирования остается слева.
Рис. 3.5. Деформация частицы в процессе движения

В случае потенциального движения

Таким образом, в этом случае циркуляция скорости не зависит от формы пути интегрирования, а определяется значениями потенциала скорости на ее концах. Если контур замкнутый, то Г = 0.

Основы динамики

3.2.1. Силы, действующие на частицу сплошной среды. Напряженное состояние элементарного объема. Закон трения Стокса

Динамика изучает движение потоков с учетом сил, действием которых оно обусловлено.

Среди сил, действующих на анализируемый объем сплошной среды, можно выделить силы массовые (объемные) и поверхностные.

Массовые силы действуют на каждую частицу выделенного объема (гравитационные, электромагнитные силы и т. д.).

Поверхностные силы действуют только на частицы, расположенные на поверхности анализируемого объема (сила поверхностного натяжения и т.д.).

Отношение силы к площади поверхности, на которую она действует, называется напряжением.

Напряжение называется нормальным , если оно направлено по нормали к анализируемой поверхности.

Напряжение называется касательным , если оно направлено по касательной к анализируемой поверхности.

Нормальное напряжение вдоль оси (действующее на площадку, перпендикулярную оси ) обозначают . Аналогично .

Касательные напряжения записываются с двумя индексами, например, , первый индекс указывает, какой оси перпендикулярна выделенная площадка, а второй — в направлении какой координатной оси действует рассматриваемое касательное напряжение.

Таким образом, в направлении каждой координатной оси действуют нормальная и две касательных составляющих напряжения. Так в направлении осей действуют следующие составляющие напряжения соответственно:

Выражение (3.40) представляет собой тензор напряжений.

Таким образом, тензор напряжений симметричен относительно главной диагонали

В невязкой жидкости касательные напряжения равны нулю

Также уравнение (3.43) справедливо для вязкой, но покоящейся жидкости. Для этих случаев также верно

где — давление, действующее на выделенный элемент противоположно по знаку напряжениям , поскольку давление создает напряжение сжатия, а положительными принято считать растягивающие напряжения. Из формулы (3.44) следует, что

Таким образом, в вязкой покоящейся или невязкой (покоящейся или движущейся) жидкости силы трения не возникают, напряжения определяются гидростатическим давлением. Для этих случаев тензор напряжений принимает вид

Нормальные напряжения в движущейся вязкой жидкости можно выразить зависимостями:

где — дополнительные давления в направлении координатных осей , обусловленное влиянием вязкости.

Таким образом, закон трения Ньютона (1.4) для плоского потока можно обобщить на пространственное течение.

Для ньютоновской жидкости, у которой связь между напряжением и скоростью деформации линейна, такой обобщенный закон трения можно представить в виде

Уравнения (3.48) носят название закон трения Стокса. Для несжимаемой жидкости , поэтому выражения (3.48) упрощаются.

Дифференциальное уравнение неразрывности

Выделим в движущемся потоке элементарный объем в форме прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6) и определим изменение массы жидкости в выделенном объеме за элементарный промежуток времени . Это изменение массы определяется разностью между втекающей и вытекающей массой жидкости через грани элементарного объема. Поскольку объем выделенного элемента остается неизменным с течением времени, то изменение массы жидкости может быть обусловлено лишь изменением ее плотности

Определим массу жидкости, втекающую в выделенный объем за единицу времени.

Жидкость втекает через грани и в следующих количествах: через грань ; через грань через грань .

Жидкость вытекает через грани и в следующих количествах: через грань через грань через грань

Просуммировав количества втекающей и вытекающей жидкости по всем граням, найдем изменение массы жидкости в выделенном объеме:

Уравнение (3.52) называется дифференциальным уравнением неразрывности или сплошности. Оно также может быть записано в виде

Для потоков несжимаемой жидкости (стационарных и нестационарных) уравнение неразрывности примет вид

Для стационарных потоков газа (сжимаемой жидкости) уравнение неразрывности примет вид

Необходимо отметить, что существуют и другие способы вывода уравнения неразрывности.

Дифференциальные уравнения переноса количества движения

Уравнения Эйлера и Навье-Стокса

Рассмотрим движение сплошной среды, предполагая скорость, плотность, напряжения и массовые силы непрерывными функциями времени и координат. В декартовой системе координат выделим элемент в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6). К выделенному объему применяется закон сохранения количества движения, в соответствии с которым, изменение за определенный промежуток времени количества движения жидкости в элементарном объеме, равно импульсу внешних сил, действующих на этот объем.

Изменение количества движения в выделенном объеме происходит за счет изменения плотности жидкости и ее скорости, так и за счет разницы между втекающим и вытекающим количеством движения через границы этого объема.

Уравнение движения удобно рассматривать в проекциях на координатные оси . Для получения проекций уравнения движения на каждую координатную ось применим закон сохранения количества движения к граням выделенного объема, перпендикулярным соответствующей оси.

Рассмотрим сначала грань , перпендикулярную оси и определим составляющие потока количества движения через нее за время в направлении координатных осей :

где — составляющие потока импульса через грань, имеющую площадь, равную 1 и перпендикулярную оси , за единицу времени в направлении координатных осей соответственно.

Потоки количества движения через грань можно выразить зависимостями:

Разница между втекающим (положительным) и вытекающим (отрицательным) количеством движения через грани, перпендикулярные оси , в направлениях осей определяется как

Аналогично определяются изменения составляющих количества движения через грани перпендикулярные осям и :

Изменение за время количеств движения в выделенном объеме , в направлении осей , происходящее за счет изменения плотности жидкости и ее скорости, выразим соотношениями вида

На выделенный объем, в общем случае, действуют внешние массовые (гравитационные или инерционные) и поверхностные силы. Найдем проекции импульса массовых сил на оси за время .

Для внешней массовой силы

отнесенной к единице объема, имеем

Проанализируем поверхностные силы. На грань , перпендикулярную оси действует внешняя поверхностная сила , а на противоположную грань (и в противоположном направлении) — сила .

В уравнении (3.65) — вектор результирующего напряжения, действующего на площадку, перпендикулярную оси .

Вектор импульса результирующей поверхностной силы, действующей на перпендикулярные оси грани выделенного объема, определяется выражением

Заметим, что направление результирующей поверхностной силы, действующей на перпендикулярные оси грани, так же, как и направление ее импульса, не совпадает с осью .

Аналогично получаются выражения для импульсов результирующей поверхностной силы, действующей на грани, перпендикулярные осям и :

Векторы напряжений действующих на перпендикулярные осям соответственно грани, можно выразить через составляющие тензора напряжений

Суммарный импульс поверхностных сил

Таким образом, для различных составляющих закона сохранения количества движения, получаем

Преобразуя эти уравнения получаем уравнения движения в напряжениях:

Левая часть уравнений (3.72) может быть преобразована как

Аналогично преобразовываются и два других уравнения. В соответствии с уравнением неразрывности (3.52) последняя сумма в выражении (3.73), стоящая в квадратных скобках, равна нулю. Обозначим

где

субстанцианальная производная.

Таким образом, получаем уравнения движения в форме уравнений Навье-Стокса:

Система уравнений (3.75) описывает движение вязкой сжимаемой жидкости (газа). Для несжимаемой жидкости , поэтому уравнения Навье-Стокса упрощаются

Для идеальной среды из уравнений (3.76) получим

Эти уравнения называются уравнениями Эйлера и описывают движение идеальной сплошной среды.

3.2.4. Дифференциальное уравнение энергии

Рассмотрим движение сплошной среды, полагая скорость, плотность, напряжения и массовые силы непрерывными функциями времени и координат. В декартовой системе координат выделим элемент в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.6). К выделенному объему применяется закон сохранения полной энергии включающий внутреннюю и кинетическую энергию (энергия отнесена к единице массы среды). Изменение за определенный промежуток времени количества энергии жидкости в элементарном объеме равно работе внешних сил, действующих на этот объем, подводимому (отводимому) количеству теплоты и выделившемуся количеству теплоты при наличии внутренних источников тепла :

Работу внешних массовых сил выразим формулой вида

Определим работу нормальных и касательных сил, действующих на грани выделенного объема. Действие на грань нормальных напряжений обуславливает работу

На грань противоположную грань :

Работа сжимающих напряжений считается отрицательной, а растягивающих — положительной.

Результирующая работа нормальных напряжений, действующих на грани, перпендикулярные оси :

Аналогично определяется результирующая работа касательных напряжений, действующих на грани, перпендикулярные оси :

Аналогичные рассуждения проводятся применительно к граням, перпендикулярным осям и .

Таким образом, работа поверхностных сил будет определяться выражением вида

Работа внешних сил определяется как

Количество теплоты, подведенное через к выделенному объему, перпендикулярно оси , через грань :

где — плотность теплового потока, направленная вдоль оси . Количество теплоты, отведенное через грань :

Результирующее количество теплоты, подведенное через грани, перпендикулярные оси :

Аналогично определяется результирующее количество теплоты, подведенное через остальные грани, перпендикулярные осям и .

Результирующее количество теплоты, подведенное к выделенному объему будет иметь вид

С учетом закона Фурье:

где — коэффициент теплопроводности;

температурный градиент. Подробно закон Фурье будет рассмотрен в третьей части пособия, посвященной теории тепломассообмена. Уравнение (3.91) можно представить в виде

При наличии внутренних источников теплоты

где — мощность внутренних источников теплоты.

Таким образом, дифференциальное уравнение энергии будет иметь вид

Используя закон трения Стокса, а также пренебрегая изменением во времени кинетической энергии и действием массовых сил можно получить

В уравнении (3.96) Ф — диссипативная функция, которая при определяется выражением вида

Дифференциал внутренней энергии определяется как

где — удельная теплоемкость жидкости.

Для несжимаемой среды , дифференциальное уравнение энергии будет иметь вид

Значение функции Ф обычно невелико и в большинстве случаев ей пренебрегают.

Для среды с постоянными теплофизическими свойствами дифференциальное уравнение энергии можно представить в виде

Обозначив за — коэффициент температуропроводности, получим

где

Следует отметить, что при условии рассмотрения закона сохранения и превращения энергии какого-либо газа, в уравнениях (3.99) — (3.101) используется удельная изобарная теплоемкость .

При отсутствии внутренних источников тепла дифференциальное уравнение энергии упрощается за счет того, что .

Движение вязкого потока

Режимы течения жидкости

Известны два основных режима течения вязкой жидкости: ламинарный и турбулентный. Первое систематическое исследование этих режимов течения выполнил английский физик Рейнольде (1883 г.).

Исследованиями Рейиольдса было установлено, что при относительно небольших скоростях движения потока каждая частица жидкости движется по своей траектории, не перемешиваясь с другими частицами. Такое течение было названо слоистым или ламинарным.

При достаточно больших скоростях движения потока на основное движение частиц накладываются хаотические поперечные перемещения (пульсации), приводящие к перемешиванию жидкости. Такое течение было названо турбулентным.

Исследования также показали, что при возрастании скорости ламинарного потока приводит к возникновению случайных возмущений, которые сначала гасятся или вызывают небольшие колебания струек, но в конечном счете равновесие нарушается и ламинарное течение переходит в турбулентное.

На рис. 3.7. представлены профили скорости при движение жидкости в трубе. При ламинарном режиме каждый слой жидкости движется со своей определенной скоростью, которая достигает максимума в среднем сечении трубы. При турбулентном режиме частицы жидкости движутся с некоторой одинаковой средней скоростью и лишь в пристеночной области скорость жидкости уменьшается.

Рейнольдсом впервые было установлено, что переход от ламинарного течения к турбулентному происходит при достижении безразмерным комплексом названным впоследствии числом Рейиольдса некоторого предельного значения . Число Рейиольдса включает в себя среднюю скорость движения жидкости характерный размер (в данном случае диаметр трубы ), коэффициент кинематической вязкости жидкости к Значение называется критическим числом Рейнольдса. Опытами установлено, что при течении жидкости по трубе .

Таким образом, при в трубе реализуется лиминарный режим, при — турбулентный режим течения.

Дальнейшие исследования показали, что значение критического числа Рейнольдса зависят от условий на входе в трубу. Тщательным устранением возмущений потока на входе удалось сохранить ламинарное течение вплоть до

Опытами установлено также, что при даже самые сильные возмущения потока на входе со временем затухают, и течение остается ламинарным.

Полностью развитое турбулентное течение в трубе имеет место при . В диапазоне режим течения в трубах является переходным. Переходный режим течения носит неустойчивый характер. Это означает, что в анализируемой точке пространства ламинарный и турбулентный режимы течения чередуются с некоторым периодом времени .

Для характеристики переходного режима используется коэффициент перемежаемости

где — продолжительность существования турбулентного режима в течении периода . Коэффициент перемежаемости изменяется в диапазоне , при имеет место ламинарный режим течения, а при — турбулентный.

Аналогичные результаты получены при внешнем обтекании тел. Драйден установил, что при обтекании потоком плоской пластины критическое число Рейнольдса находится в пределах

Особенности турбулентного течения

Параметры турбулентного потока изменяются во времени неравномерно, поэтому для удобства исследования его параметры представляют как сумму осредненных во времени параметров и их пульсационных составляющих (рис. 3.8). Связь актуальных (действительных) величин параметров с осредненными и пульсационными составляющими выражается формулами

где — актуальные значения скорости, давления и температуры соответственно; — осредненные значения скорости, давления, температуры соответственно; — пульсационные составляющие скорости, давления, температуры соответственно.

Осредненное значение параметров определяется изменением актуальных параметров во времени

Из понятия осредненных параметров следует, что осредненные значения пульсационных составляющих параметров равны нулю ( и т. д.), но среднее значение произведений пульсаций может быть не равно нулю. В этом случае между пульсациями существуют корреляции (зависимости), которые имеют важное значение для анализа характеристик потока. Так, произведение . определяет турбулентные касательные напряжения, — плотность теплового потока, обусловленную турбулентным переносом теплоты.

Также следует отметить, что повторное осреднение не изменяет результата ( и т. д.). Осредненные произведения средней величины и пульсационной также равны нулю ( и т. д.).

Для количественной оценки пульсационных составляющих скорости движения используется параметр, называемый степенью турбулентности . В общем случае неизотропной турбулентности

где — дисперсии пульсационных составляющих скорости, — осредненная скорость потока.

Для изотропной турбулентности

В аэродинамических трубах

В каналах значение составляет несколько сотых долей.

Неоднородность скоростного поля может быть обусловлена диссипативными потерями при взаимодействии потока со стенкой. В этом случае турбулентность называют пристенной.

Поток может быть турбулентным и до начала взаимодействия его с рассматриваемой поверхностью. Такую турбулентность называют внешней.

Уравнения движения и энергии для ламинарного и турбулентного режима течения жидкости

При ламинарном режиме течения уравнения движения и энергии можно записать в форме (3.76), (3.99).

Эти уравнения будут верны и для турбулентного режима течения, при условии, что в уравнениях присутствуют мгновенные значения величин (скорости, температуры, давления). При этом система дифференциальных уравнений (3.76) и (3.99) с учетом уравнения неразрывности является замкнутой, так как число неизвестных равно числу уравнений. Однако, математическая формулировка задачи остается незамкнутой из-за неопределенности начальных и граничных условий однозначности. Эта неопределенность и составляет физическую суть проблемы замыкания. Решение этой проблемы средствами математики сводится к появлению большого числа расчетов с разными вариантами задания начальных и граничных условий. При этом каждый такой вариант представляет собой совокупность случайных значений параметров, лежащих внутри заданного диапазона их изменения в турбулентном потоке. Этот подход требует выполнения чрезвычайного большого объема вычислительной работы.

Другой подход к проблеме замыкания математической формулировки задачи сводится к замене в дифференциальных уравнениях движения (в форме Навье-Стокса) и энергии, мгновенных значений параметров на сумму осредненных и пульсационных составляющих.

Рассмотрим турбулентное течение несжимаемой жидкости в прямоугольной системе координат. Найдем составляющие потока импульса через элементарную площадку , перпендикулярную оси , за единицу времени

Осредненные во времени значения потока импульса будут иметь вид

Разделив каждую составляющую потока импульса на площадь получим напряжения (одно нормальное и два касательных к выбранной площадке, перпендикулярной оси ):

Проводя аналогичные рассуждения для площадок и , перпендикулярных осям и соответственно, получим еще 6 составляющих напряжения.

Для площадки :

Для площадки :

Таким образом, наложение пульсационного движения на осредненное приводит к появлению девяти дополнительных напряжений:

Совокупность этих девяти дополнительных напряжений, возникающих в турбулентном потоке, называют тензором «кажущихся» напряжений или напряжениями Рейнольдса.

Таким образом, уравнение движения для турбулентного потока примут вид

Уравнения (3.113) уравнениями Рейнольдса.

Воспользовавшись идеей Ж. Буссинеска, выразим компоненты тензора напряжений соотношениями:

где — коэффициенты турбулентного переноса количества движения.

В отличие от динамического коэффициента вязкости коэффициент турбулентного переноса не является физическим свойством потока. Таким образом, уравнения Рейнольдса можно представить в виде

Аналогично уравнению движения выводится дифференциальное уравнение энергии для осредненных параметров, при этом оно имеет вид

где — коэффициенты турбулентного переноса энергии, которые также не являются физическими свойствами потока.

Коэффициенты турбулентного переноса энергии определяются выражениями:

Следует отметить, что дифференциальное уравнение неразрывности для осреденных параметров имеет тот же вид, что и для мгновенных значений скоростей потока.

Коэффициенты турбулентного переноса являются величинами неизвестными, поэтому система уравнений для осредненных параметров турбулентного течения является незамкнутой, так как число уравнений больше числа неизвестных. При этом, для замыкания математической формулировки задачи, было разработано большое число эмпирических и полуэмпирических моделей турбулентности.

Модели турбулентности

Незамкнутость математической формулировки задачи турбулентного обмена из-за наличия пульсационных составляющих параметров потока делает невозможным использование чисто аналитического пути решения задачи. Существующие модели турбулентности не позволяют рассчитывать профиль осредненных скоростей и температур или уровень турбулентности в потоке без привлечения опытных данных.

В 1925 г. Л. Прандтль предложил теорию пути смешения, на основе которой характеристики турбулентного переноса удалось связь с распределением осредненной скорости потока.

Рассмотрим плоское движение жидкости, осредненная скорость которой изменяется только по координате (рис. 3.9).

В соответствии с гипотезой Прандтля, комок жидкости, перемещающийся под действием пульсации вдоль оси у сохранит свою индивидуальность (не перемешивается с остальной жидкостью) на расстоянии , после чего рассеивается. Величина называется длиной пути смешения.

Выделим два слоя жидкости с координатами и , отстоящие друг от друга на расстоянии . Предположим, что в слое 1, имеющим скорость движения , возник комок жидкости и, сохраняя -составляющую своего импульса, в результате пульсации скорости переместился в слой жидкости 2, где жидкость имеет скорость . В слое 2 разность между скоростью потока и можно рассматривать как пульсацию скорости .

Величину найдем разложением ее в ряд Тейлора с сохранением двух членов ряда в предположении о малости величины :

Таким образом,

В слой, соответствующий из нижележащих слоев попадают комки жидкости со скоростью, меньше чем , а из вышележащих слоев — со скоростью, превышающей . Их столкновение приводит к возникновению поперечной пульсации скорости которая пропорциональна .

Знак минус отражает противоположность знаков и . Величина в (3.122) изменяется во времени. Если под понимать осредненную во времени величину, то равенство (3.122) будет иметь вид

Таким образом,

Аналогичные рассуждения относительно турбулентных пульсаций приводят к формулам:

Величины и могут иметь различные значения и рассматриваться как функции координат от точки.

Л. Прандтль предположил, что вблизи гладкой плоской стенки

где — константа, полученная опытным путем.

Т. Карман на основе гипотезы о подобии полей пульсационных скоростей в различных точках течения получил для длины пути смешения, что

где — константа, полученная опытным путем.

Таким образом, теория пути смешения позволила решить ряд практически важных задач, но при этом она является полуэмпирической и имеет ограниченную область применимости, так как в ней существенным образом использованы экспериментальные данные. Также теория пути смешения не полностью отражает предысторию развития турбулентного потока.

В 1942 г. академик А. Н. Колмогоров, а затем независимо от него в 1945 г. Л. Прандтль предложили новую теорию турбулентных течений, в которой принимается, что турбулентная вязкость (коэффициент турбулентного переноса ) зависит от кинетической энергии турбулентных пульсаций

Наибольшее распространение в настоящее время получила предложенная Б. Лоундером двухпараметрическая модель и ее модификации. За в этой модели принята скорость диссипации энергии турбулентности. При этом для замыкания системы уравнений турбулентного движения используются различные гипотезы. К примеру, согласно гипотезе Джонса-Лоундера:

где — эмпирическая константа.

Кроме модели существуют и другие модели для описания турбулентного течения, в частности, более сложные модели, включающие в себя уравнения для переноса компонент тензора напряжений Рейнольдса и др.

Движение жидкости с малой вязкостью

Если рассматривается движение жидкости с малой вязкостью, то для теоретического исследования все поле течения разбивают на две области: область тонкого пограничного слоя вблизи стенки, где силы инерции соизмеримы с силами трения и их следует учитывать; область вне пограничного слоя, в которой силами трения вследствие их малости по сравнению с силами инерции можно пренебречь и применять уравнения, полученные для невязких течений.

Пограничный слой

Формирование пограничного слоя

Пристенную область, в пределах которой наблюдается существенное изменение продольной скорости называют динамическим пограничным слоем. За пределами динамического пограничного слоя изменением продольной скорости можно пренебречь.

Аналогичным образом при протекании явления теплоотдачи можно выделить пристенную область, в пределах которой наблюдается существенное изменение температуры теплоносителя — это тепловой пограничный слой.

Под толщиной динамического пограничного слоя понимают расстояние от обтекаемой поверхности (где скорость жидкости равна нулю) до точки, где значение скорости отличается на 1% от скорости в потенциальном ядре потока (т. е. составляет 0,99).

Аналогично вводится понятие толщины теплового пограничного слоя .

При формировании пограничного слоя на начальном участке поверхности образуется ламинарный пограничный слой, толщина которого увеличивается по мере удаления от места начала его формирования (рис. 3.11).

Опыты показывают, что при высоких значениях числа Рейнольдса ламинарное течение в пограничном слое теряет устойчивость и на некотором расстоянии от входа хкр ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный. При этом у поверхности стенки образуется вязкий подслой.

Распределение скоростей и температур в пограничном слое

Изучение профилей скоростей и температур в турбулентном пограничном слое базируется на результатах экспериментального исследования структуры течения.

При изучении структуры турбулентного пограничного слоя используется понятие динамической скорости, которую также часто называют скоростью сдвига (трения)’.

на основе которой записываются безразмерная скорость и безразмерная координата:

где — коэффициент кинематической вязкости жидкости; — касательное напряжение на поверхности стенки. Безразмерный профиль скоростей:

пригоден для любого числа Рейнольдса , так как влияние этого числа заложено в величине . Поэтому зависимость (5.4) называют универсальным законом распределения скорости или законом стенки. Форма этого закона зависит от соотношения интенсивностей процессов молекулярного и турбулентного переноса.

В ламинарного пограничном слое и вязком подслое турбулентного пограничного слоя распределением скоростей можно считать линейный, а у поверхности стенки и

выражение (3.136) при этом примет вид

Закон стенки для турбулентного пограничного слоя с учетом предположения о том, что а также используя теорию пути смешения Прандтля:

Из (3.139) следует

После интегрирования получим, что

Формула совпадает с опытно найденным распределением скоростей около плоской пластины и в гладких круглых трубах:

На рис. 3.12 показаны зависимости, построенные по приведенным формулам. На участке ни одна из этих зависимостей не совпадает с опытными данными. Это переходная зона, в которой распределение скоростей формируется при существенной роли как молекулярного, так и турбулентного переноса. На этом участке опытные данные удовлетворительно описываются уравнением вида

Таким образом, по толщине турбулентного пограничного слоя можно выделить три области: вязкий подслой , переходную зону и турбулентное ядро .

При получении закона стенки предполагалось, что профиль скоростей формируется только под воздействием турбулентного трения. Эта предпосылка реализуется только при больших числах .

Опытное изучение структуры турбулентного пограничного слоя показывает, что при умеренных числах распределение скоростей лучше описываются степенными законами вида

где — толщина динамического пограничного слоя.

Показатель степени достаточно слабо, но зависит от числа . К примеру, для пластин при

Аналогичным путем может быть выявлено распределение температур по толще пограничного слоя. Для турбулентной части пограничного слоя при :

где — безразмерная температура теплового пограничного слоя; -безразмерная координата теплового пограничного слоя.

На основе аналогии процессов переноса теплоты и импульса могут быть также построены степенные профили температур.

Дифференциальные уравнения и интегральные соотношения пограничного слоя

Дифференциальные уравнения неразрывности, движения и энергии для пограничного слоя будут иметь вид (3.54), (3.116) и (3.117) соответственно.

При этом для ламинарного пограничного слоя

Дифференциальные уравнения пограничного слоя включают частные производные, что ограничивает возможности их применения. Поэтому для построения приближенных методов расчета используются интегральные соотношения импульсов и энергии, которые не содержат частных производных и имеют одинаковую форму для ламинарного и турбулентного пограничного слоя.

Интегральное соотношение импульсов

Запишем уравнение движения для двумерного пограничного слоя с постоянными физическими свойствами в виде

где

для ламинарного пограничного слоя

За пределами динамического пограничного слоя, толщина которого , и потому . Для этой области уравнение движения приводится к виду

где — продольная скорость за пределами пограничного слоя. Подставим (3.148) в (3.147):

Умножим все члены уравнения на и проинтегрируем его в произвольном сечении от поверхности стенки до внешней границы пограничного слоя:

где — касательное напряжение на поверхности стенки.

Обозначим условные толщины динамического пограничного слоя: толщину вытеснения через и толщину потери импульса через .

Поскольку скорость внутри пограничного слоя меньше, чем в невязком течении, то расход в пристеночной области ниже, чем в невязком потоке в том же сечении. В качестве меры уменьшения расхода и вводится толщина вытеснения.

Запишем соотношение для расхода в виде

Из (3.152) следует, что

Скорость движения жидкости внутри пограничного слоя меньше, чем в невязком потоке вне пограничного слоя, и количество движения соответственно меньше. Мерой этого уменьшения будет толщина потери импульса, которая будет определятся из соотношения:

Таким образом, уравнение (3.149) приобретает вид

где — коэффициент сопротивления трения; — число Рейнольдса по толщине потери импульса , где — характерный геометрический размер поверхности; — формопараметр пограничного слоя; — параметр продольного градиента давления; — число Рейнольдса по характерному размеру поверхности.

Для безнапорного течения уравнение (3.156) преобразуется к виду

Интегральное соотношение энергии

Аналогично получается интегральное соотношение энергии

где — число Стантона; — плотность теплового потока на поверхности; — толщина потери энергии:

где — температура теплоносителя в пределах теплового пограничного слоя; -температура за пределами пограничного слоя. Уравнение (3.160) можно представить в виде

где — число Рейнольдса по толщине потери энергии.

При безнапорном течении и неизменяющихся по длине поверхности температурах и — уравнение (3.160) примет вид

где — температуропроводность.

Движение невязкого потока. Уравнение энергии невязкого потока

При выводе уравнений энергии и движения полагают, что невязкая жидкость представляет собой идеальный газ и вся область движения может быть разбита по потоку на элементарные участки, причем в каждом участке по всему сечению параметры потока остаются постоянными (стационарное или установившееся движение).

Рассмотрим поток в канале произвольной формы (рис. 3.13). Если движение установившееся, то

где — массовый расход газа; — площади поперечных сечений канала 1 — 1 и 2 — 2; — удельные объемы в тех же поперечных сечениях; — давления, которые имеет движущийся газ в сечениях 1 — 1 и 2-2.

Таким образом, уравнение энергии для рассматриваемого случая будет иметь вид

где — элементарное количество теплоты, подводимое или отводимое на рассматриваемом участке движения; — приращение внутренней энергии газа в соответствующих сечениях; — элементарная работа газа против внешних сил; — приращение кинетической энергии газа при его перемещении на выделенном участке; — элементарная работа против сил тяжести (работой против сил тяжести для газов обычно пренебрегают).

Работа газа против внешних сил в движущемся газе является работой, затраченной на его проталкивание.

Выделим сечениями I — I и II — II некоторую массу газа. На выделенный объем газа в канале действует слева сила , а справа — сила . Работа проталкивания (перемещения) при этом будет равна

После раскрытия скобок и отбрасывания малых величин второго и высшего порядков получаем, что

Применим уравнение (3.163), тогда

Для потока газа 1 кг/с, имеем

Таким образом, уравнение энергии будет иметь вид

где — приращение энтальпии газового потока.

При достаточно больших скоростях движения газового потока теплообменом газа с окружающей средой можно пренебречь, тогда поток будет адиабатным. Уравнение энергии при этом примет вид

где — энтальпия в точке торможения (при ).

Так как приращение энтальпии можно представить в виде

где — массовая изобарная теплоемкость газа, то

где — температура в точке торможения (при ).

Уравнение (3.174) представляет собой уравнение энергии одномерного потока невязкой жидкости.

Уравнение движения невязкого потока

Рассмотрим стационарный поток в канале произвольной формы, у которого параметры меняются только вдоль оси .

Считая вязкость уравнения движения Навье-Стокса будут преобразованы к виду

В рассматриваемом случае субстанциальная производная будет иметь вид

Тогда

Так как поток стационарный, то

Также будем считать действие массовых сил пренебрежимо малым . Тогда уравнение движения примет вид

Из уравнения (3.178) следует, что

После интегрирования уравнения движения получаем:

В более общем виде это уравнение будет иметь вид

Выражение (3.181) представляет собой уравнение Бернулли. Уравнение Бернулли, в основном, применяется для несжимаемых жидкостей.

Для идеального газа, движущегося с большой скоростью уравнение движения, учитывающее сжимаемость, можно получить из выражения (3.175), при этом используют уравнение состояния идеального газа ; уравнение Майера и выражение для показателя адиабаты ( , где — постоянная адиабаты). Более подробно эти выражения будут рассмотрены второй части, посвященной основам термодинамики.

Поделив в умножив уравнение (3.184) на — массовую изохорную теплоемкость газа, получим выражение вида

которое будет представлять собой уравнение Бернулли для газа, где соотношением учитывается сжимаемость среды. 3. Скорость звука

Если в несжимаемой среде в некоторой точке изменить давление на величину , то во всей области, занятой несжимаемой средой, давление мгновенно измениться на ту же величину, т.е. скорость распространения возмущений равна бесконечности. Иначе обстоит дело с распространением малых возмущений в упругих средах. Эти возмущения распространяются как упругие волны со скоростью

где — модуль объемной упругой деформации среды.

В сжимаемой среде под влиянием изменения давления на величину происходит изменение объема на величину . Таким образом,

Сжимаемость среды можно охарактеризовать коэффициентом сжимаемости, поэтому модуль упругой деформации будет равен

Следовательно скорость распространения малых возмущений

Величина — называется скоростью звука. Из уравнения (3.189) следует, что скорость звука является мерой сжимаемости среды.

Применяя уравнение состояния идеального газа и дифференциальное уравнение адиабаты:

получим, что

Безразмерная величина, которая является определяющим параметром при движении сжимаемых сред, называется числом Маха и определяется выражением вида

Выражение (3.192) представляет собой отношение скорости потока к скорости звука.

Скорость и расход газа. Газодинамические функции

Рассмотрим адиабатное одномерное течение идеального газа. Воспользуемся уравнением энергии в форме (3.173). Разделим левую и правую часть этого уравнения на :

где — максимально возможная скорость течения газа.

При

следовательно,

что соответствует условиям расширения потока до полного вакуума.

Из уравнения адиабаты в форме следует

Подставив эти выражения в уравнение (3.193), получим

Таким образом, с ростом скорости от 0 до параметры потока непрерывно уменьшаются и стремятся к 0 (рис. 3.14). Это обстоятельство существенно отличает движение газа от движения несжимаемой среды, где плотность при любом изменении скорости оставалась постоянной.

Найдем выражение для скорости звука при адиабатном течении газа. Используя выражение для скорости звука можно записать, что

Из соотношений видно, что с увеличением скорости потока скорость звука в нем уменьшается. Скорость звука — называется местной скоростью звука. Установим зависимости параметров потока от числа .

Поделим обе части уравнения на получим

Тогда

Помимо приведенных зависимостей в технических расчетах используются формулы, которыми устанавливается связь между параметрами потока и числом называемым часто коэффициентом скорости. Здесь — критическая скорость, под которой подразумевают скорость потока, равную скорости звука. При числа и .

Из соотношения (3.202) следует, что

Таким образом, критические параметры зависят только от параметров торможения и показателя адиабаты, причем критические параметры всегда меньше параметров торможения.

Используя уравнение (3.204) получим выражения:

Поэтому

В уравнении (3.207) представляют собой газодинамические функции. Эти функции широко используют в практических расчетах, их значения приведены в справочной литературе для различных значений показателя адиабаты .

Из вышеприведенных уравнений следует, что связь между и имеет следующий вид

Получим выражения для расхода газа. Из уравнения (3.163) можно выразить расход газа:

где — площадь сечения струи. В формуле (3.209)

Из выражения (3.210) видно, что функция обращается в нуль при и при что соответствует . Поэтому на основании теоремы Рояля в указанном интервале эта функция имеет хотя бы один экстремум.

Определим производную по и приравняем ее нулю. Находим, что максимум функции будет при .

Функция оказывается очень удобной при расчете площади струи. Из постоянства массового расхода при установившемся течении следует

Изменение площади сечения струи в зависимости от числа представлено на рис. 3.15.

Из рис. 3.15 следует, что одному и тому же значению отношения площадей соответствуют два значения числа Маха: дозвуковое и сверхзвуковое.

Зависимость изменения площади сечения струи от скорости потока

Определим изменение площади сечения струи от скорости потока. Из уравнения (3.163) при постоянстве расхода, можно получить уравнение вида

На основании уравнений (3.179) и (3.189) следует, что

Подставим выражение (3.216) в (3.214):

Соотношение (3.217) устанавливает связь между относительным изменением площади струи и относительным изменением скорости .

Видно, что при ускоренном движении дозвукового потока ( < 1) площадь сечения струи уменьшается, в то время как при ( > 1) площадь ее сечения увеличивается. Замедление движения, наоборот, происходит в случае увеличения площади сечения струи дозвукового потока и при уменьшении ее для сверхзвукового.

Таким образом, чтобы получить сверхзвуковую скорость потока в струе, площадь ее сечения необходимо сначала уменьшать, а затем увеличивать. Канал с указанным изменением площади сечения называется соплом Лаваля (рис. 3.16).

Соплами называются каналы, в которых происходит расширение газа с уменьшением давления и увеличением скорости .

Таким образом, в сужающейся части сопла Лаваля , при этом скорость стремится увеличится до скорости звука . В самом узком сечении сопла Лаваля скорость потока равна скорости звука (критической скорости), поэтому это сечение называется критическим. В расширяющейся части сопла Лаваля газ продолжает расширяться, при этом .

Теория из учебников тут.

Гидравлические сопротивления

Сопротивления по длине

Первопричиной потерь энергии является сила внутреннего трения (вязкости), однако ее действие проявляется по-разному. Твердые неподвижные границы стенки всегда оказывают тормозящее действие на поток, которое называется гидравлическим сопротивлением. В общем случае потери энергии в гидравлических сопротивлениях слагаются из потерь в сопротивлениях по длине и в местных сопротивлениях.

Рассмотрим движение жидкости в прямой трубе постоянного сечения с некоторой постоянной скоростью (рис. 4.1). Из баланса сил, действующих на выделенный объем жидкости, ограниченный двумя поперечными сечениями и внутренней поверхностью трубы, имеем

где и — давление потока в выбранных поперечных сечениях; — касательное напряжение трения на поверхности стенки; — периметр проточной части в поперечном сечении; — расстояние между выбранными сечениями.

Таким образом,

А для труб круглого сечения

где — диаметр трубы.

Напряжение трения принято выражать через коэффициент гидравлического сопротивления (коэффициент сопротивления трения) и динамическое давление (скоростной напор)

Коэффициент сопротивления трения в общем случае зависит от конфигурации граничных поверхностей и (числа Рейнольдса). Понятие конфигурации включает в себя форму поперечного сечения и шероховатость стенок.

Характер этих зависимостей исследовался Блазиусом, Прандтлем, Никурадзе, Альтшулем, Шевелевым и др.

По данным опытов Никурадзе для круглых труб зависимости от числа и шероховатости стенок имеют вид, показанный на рис. 4.2. В опытах Никурадзе шероховатость создавалась искусственно (песочная шероховатость — плотная, однородная, равномерная) и оценивалась средним размером выступа .

Исследования показали следующие возможные зависимости от и шероховатости .

При ламинарном режиме течения (<2300) шероховатость поверхности не оказывает значимого влияния на при этом закон сопротивления имеет вид

При турбулентном режиме течения закон сопротивления зависит от соотношения между высотой элементов шероховатости и вязкого подслоя, сохраняющегося вблизи стенки.

При

где — кинематический коэффициент вязкости потока, элементы шероховатости расположены целиком внутри вязкого подслоя, а сама шероховатость не оказывает влияния на закон сопротивления. При этом реализуется гладкостенный турбулентный режим, для которого Блазиусом в 1913 г. был предложен закон сопротивления

При

размер шероховатости соизмерим с толщиной вязкого подслоя. Исследования показали, что в этом случае от и от и от шероховатости , при этом реализуется так называемый доквадратичный режим.

При

размер шероховатости превышает толщину вязкого подслоя. При этом реализуется квадратичный режим. Коэффициент практически не зависит от числа и определяется относительной шероховатостью . Шифринсон для квадратичного режима предложил закон сопротивления в виде

Само понятие о квадратичном режиме основано на условии пропорциональности потери давления по длине трубы квадрату скорости потока.

Для расчета коэффициента гидравлического сопротивления всех возможных турбулентных режимов Альтшулем был предложен закон сопротивления в виде

где — «эквивалентная» шероховатость, под которой понимается такая песочная шероховатость, при которой в квадратичной области (где потери давления по длине трубы пропорциональны квадрату скорости потока) обеспечивается одинаковое с естественной шероховатостью значение коэффициента .

Эти страницы вам могут пригодиться: