Для связи в whatsapp +905441085890

Методы решения целых алгебраических уравнений

Методы решения целых алгебраических уравнений

Разложение на множители

Часть целых алгебраических уравнений Методы решения целых алгебраических уравнений (или аналогичных неравенств) степени n выше 2-й могут быть решены путём разложения многочлена в левой части уравнения (неравенства) на множители с помощью таких известных приёмов, как группировка и вынесение общего множителя за скобки. Иногда для достижения цели приходится прибавлять и одновременно вычитать одно и то же выражение. Отметим, что порой разложение на множители этим способом требует определённого искусства.

Если разложение на множители удалось выполнить, то решение алгебраического уравнения сводится к решению совокупности нескольких уравнений, но более низкой степени. Неравенство после разложения на множители можно решать методом интервалов.

Пример №176.

Решить уравнение Методы решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Методы решения целых алгебраических уравнений

Из 1-го уравнения находим корни Методы решения целых алгебраических уравнений , а второе не имеет решений.

Пример №177.

Найти все положительные корни уравнения

Методы решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Методы решения целых алгебраических уравнений

Покажем, что второе уравнение в совокупности не имеет положительных решений. Действительно, рассмотрим функцию Методы решения целых алгебраических уравнений Её производная Методы решения целых алгебраических уравненийпри всех действительных x, так как Методы решения целых алгебраических уравнений Следовательно, функция всюду монотонно возрастает, при этом y(0) = 5 . Отсюда следует, что при x > 0 её график не пересекает оси абсцисс.

Ответ: Методы решения целых алгебраических уравнений

Подбор корня с последующим понижением степени уравнения

При решении алгебраических уравнений и неравенств степени выше второй можно использовать общий принцип последовательного понижения степени уравнения (неравенства).

Пусть требуется решить уравнение n -й степени

Методы решения целых алгебраических уравнений

где Методы решения целых алгебраических уравнений целый рациональный алгебраический многочлен n -й степени. Если удалось подобрать (любым способом) какой-либо корень Методы решения целых алгебраических уравнений данного уравнения, то для нахождения остальных корней уравнения следует поделить многочлен Методы решения целых алгебраических уравнений на разность X — Х0 (или целенаправленной группировкой слагаемых, выделяя разность Методы решения целых алгебраических уравнений, разложить этот многочлен на множители). В результате деления образуется некоторый многочлен Методы решения целых алгебраических уравнений, степень которого на единицу меньше первоначальной. Таким образом, задача свелась к решению алгебраического уравнения степени n — 1 :

Методы решения целых алгебраических уравнений

Пример №178.

Решить уравнение Методы решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Заметим, что x = 2 является корнем данного уравнения. Найдём другие корни этого уравнения:

Методы решения целых алгебраических уравнений

Решая уравнение Методы решения целых алгебраических уравнений, находим ещё два корняМетоды решения целых алгебраических уравнений

Эта ссылка возможно вам будет полезна:

Пример №179.

Решить уравнение Методы решения целых алгебраических уравненийМетоды решения целых алгебраических уравненийМетоды решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Легко заметить, проанализировав структуру уравнения, что числа x = 0 и x = -10 являются решениями данного уравнения. С другой стороны, ясно, что это квадратное уравнение, а поэтому может иметь не более двух корней. Так как два корня уравнения уже подобраны, то других корней нет.

В некоторых случаях, для того чтобы не подбирать корень «вслепую», можно воспользоваться следующим методом.

Метод поиска рациональных корней у многочленов с целыми коэффициентами

Для решения такого рода уравнений и неравенств используется метод, в основе которого лежит Теорема 9 из предыдущего пункта. Рассмотрим подробнее суть этого метода. Пусть требуется найти рациональные корни уравнения n -й степени

Методы решения целых алгебраических уравнений

причём все коэффициенты Методы решения целых алгебраических уравнений алгебраического многочлена Методы решения целых алгебраических уравнений являются целыми числами. Поиск рациона-льных корней можно свести к перебору ограниченного количества вариантов. Для этого необходимо, во-первых, найти все целочислен-ные делители свободного члена Методы решения целых алгебраических уравнений (их конечное число, однако если этот коэффициент содержит слишком много делителей, то это затрудняет поиск корней в уравнении). Обозначим, например, эти делители через Методы решения целых алгебраических уравнений. Во-вторых, следует найти все натуральные делители старшего коэффициента уравнения Методы решения целых алгебраических уравнений. Обозначим эти делители через Методы решения целых алгебраических уравнений . В-третьих, надо составить всевозможные дроби вида Методы решения целых алгебраических уравнений. Наконец, перебирая по очереди все такие дроби, проверить, является ли в действительности каждая из них корнем данного уравнения. Найдя таким образом первый корень Методы решения целых алгебраических уравнений, вы или сразу понижаете степень уравнения делением многочлена Методы решения целых алгебраических уравнений на разность Методы решения целых алгебраических уравнений, (причём в силу следствия из теоремы Безу Методы решения целых алгебраических уравнений обязательно разделится нацело на этот линейный двучлен) и получаете некоторый многочлен Методы решения целых алгебраических уравнений степени на единицу меньшей, чем первоначальная. Или, перебирая все дроби, находите все рациональные корни и уже затем понижаете степень уравнения сразу на столько порядков, сколько рациональных корней удалось найти, и ищете оставшиеся иррациональные корни. В любом случае задача сводится к решению уравнения более низкой степени.

Пример №180.

При каких натуральных n уравнение Методы решения целых алгебраических уравнений имеет рациональные корни?

Решение:

Воспользуемся приведённым выше методом. Свободный член имеет два целочисленных делителя: ± 1, а старший коэффициент — два натуральных делителя: 1,2. Поэтому рациональные корни следует искать среди чисел Методы решения целых алгебраических уравнений Подставим их поочерёдно в уравнение.

Методы решения целых алгебраических уравнений

Ответ: Методы решения целых алгебраических уравнений

Метод неопределённых коэффициентов

Иногда для решения целых алгебраических уравнений (неравенств) с одной или несколькими неизвестными используют метод неопределённых коэффициентов. Пусть, например, решается уравнение

Методы решения целых алгебраических уравнений

Суть метода состоит в том, что многочлен Методы решения целых алгебраических уравненийв левой части уравнения представляется в виде произведения линейных Методы решения целых алгебраических уравнений и(или) квадратичных Методы решения целых алгебраических уравнений сомножителей с неизвестными (неопределёнными) коэффициентами Методы решения целых алгебраических уравненийМетоды решения целых алгебраических уравнений Чтобы найти эти коэффициенты, раскрывают скобки в указанном произведении и приводят образовавшийся при этом многочлен Методы решения целых алгебраических уравненийк стандарт-ному виду. Так как два многочлена Методы решения целых алгебраических уравнений и Методы решения целых алгебраических уравнений одной степени тождественно равны тогда и только тогда,

когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, то, приравнивая эти коэффициенты, получают систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов. Эту систему решают (или подбирают любое решение). Найденные таким способом коэффи-циенты Методы решения целых алгебраических уравненийстановятся определёнными и их значения подставляются в исходное разложение. К недостаткам метода можно отнести то, что получаемая система уравнений для нахождения коэффициентов может оказаться громоздкой и трудной даже в подборе решения.

Рассмотрим применение этого метода на примере решения кубического уравнения. Допустим, требуется решить уравнение

Методы решения целых алгебраических уравнений

Известно, что многочлен третьей степени всегда можно представить в виде произведения многочленов первой и второй степеней. Таким образом, сразу для всех действительных значений переменной x должно выполняться равенство

Методы решения целых алгебраических уравнений

где числа а,b,c являются в данном случае искомыми неопределён-ными коэффициентами. Найдём их значения. После этого останется подставить их в правую часть (1) и, приравняв её к нулю, решить уравнение Методы решения целых алгебраических уравненийМетоды решения целых алгебраических уравнений для нахождения всех корней уравнения.

Чтобы найти коэффициенты а,b,c, раскроем скобки в правой части тождества (1) и приведём образовавшийся при этом многочлен к стандартному виду

Методы решения целых алгебраических уравнений

Многочлены третьей степени тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях x . Приравнивая коэффициенты при Методы решения целых алгебраических уравнений, Методы решения целых алгебраических уравнений и свободные члены, получаем систему трёх алгебраических уравнений относительно трёх неизвестных а,b,c :

Методы решения целых алгебраических уравнений

решая которую (можно даже просто подобрать любое решение этой системы) находим коэффициенты.

Пример №181.

Решить уравнениеМетоды решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Воспользуемся для решения методом неопределённых коэффициентов. Будем искать разложение многочлена, стоящего в левой части уравнения, в виде

Методы решения целых алгебраических уравнений

Раскрыв скобки, приведём многочлен в правой части к стандартному виду

Методы решения целых алгебраических уравнений

Приравнивая коэффициенты слева и справа при Методы решения целых алгебраических уравнений ,Методы решения целых алгебраических уравненийи свободные члены, получаем в итоге систему трёх уравнений с тремя неизвестными коэффициентами а,b,c:

Методы решения целых алгебраических уравнений

Найдя подбором решение Методы решения целых алгебраических уравнений подставим найденные коэффициенты в разложение (2). Таким образом, исходное уравнение приобретает вид Методы решения целых алгебраических уравненийОно имеет три корняМетоды решения целых алгебраических уравнений

Пример №182.

При каких значениях а все корни уравнения Методы решения целых алгебраических уравнений являются корнями уравнения

Методы решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Чтобы первое из уравнений имело корни, необходимо, чтобы его дискриминант был неотрицателен, т.е.

Методы решения целых алгебраических уравнений

Далее, второй многочлен в силу теоремы Безу должен делиться нацело на первый многочлен. Иными словами, должно найтись такое b , что при всех действительных x справедливо тождество

Методы решения целых алгебраических уравнений

Для нахождения неопределённых коэффициентов (в данном случае в их роли выступают а и b ) воспользуемся известным фактом, что два кубических многочлена, стоящие по разные стороны от знака равенства, тождественно равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Приравнивая эти коэффициенты, получаем систему уравнений

Методы решения целых алгебраических уравнений

Метод умножения на функцию

Иногда, применяя приём умножения обеих частей уравнения (неравенства) на некоторую функцию, удаётся упростить уравнение (неравенство).

Пример №183.

Решить уравнениеМетоды решения целых алгебраических уравнений

Решение:

Заметим, что x = — 1 (и вообще никакое отрицательное число) не является корнем данного уравнения. Домножим обе части данного уравнения на выражение (х +1). Получаем уравнение-следствие

Методы решения целых алгебраических уравнений

множество решений которого состоит из всех решений исходного уравнения и числа x = -1. Это число является посторонним корнем, возникшем как раз в результате умножения уравнения на функцию, имеющую действительный нуль. Применяя известную формулу сокращенного умножения, получаем существенно более простое уравнение Методы решения целых алгебраических уравнений Поскольку уравнение не имеет других решений, кроме x = -1, то приходим к ответу.

Ответ: уравнение не имеет решений.

Рассмотрим некоторые виды целых алгебраических уравнений, решаемые в основном при помощи специально подобранных подстановок.

Эта лекция взята со страницы, где размещён подробный курс лекций по предмету математика:

Предмет математика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Расположение корней квадратного трёхчлена относительно одной-двух заданных точек («метод парабол»)
Теоремы о свойствах алгебраических многочленов
Двучленные, трёхчленные и биквадратные уравнения с примером решения
Однородные уравнения в математике с примерами решения